Wie sieht die Schnittmenge zweier Linearer Hüllen (von zwei verschiedenen Mengen) aus?

Question

ich habe einen Vektorraum V gegeben. A und B sind Teilmengen davon.

Die Vereinigung der Mengen A und B ist lineare unabhänigig.

Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

A ∩ B = ∅

Aber was ist nun Schnittmenge der Linearen Hülle von A mit der Linearen Hülle von B?

span(A) ∩ span(B) = ?

Ist das ebenfalls die leere Menge? Und wie kann ich das begründen?

Comments

Der Schnitt der linearen Hüllen ist nicht die leere Menge, der Nullvektor ist enthalten.

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Okay. Ist nur der Nullvektor enthalten? Und wieso ist dieser enthalten?

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Ja. Und die zweite Frage solltest du dir selbst beantworten können.

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Ich habe eine Idee, aber ich komme ständig auf das Ergebnis: span(A) ∩ span(B) = ∅

Ich weiß zwar, dass die Lineare Hülle der leeren Menge den Nullvektor enthält. Also: span(∅) = {0}

Aber meine Überlegungen gehen in eine ganz andere Richtung.

Zunächst habe ich überlegt, welche Element der span(A) und der span(B) gemeinsam haben könnten, denn das ist ja nichts anderes als die Schnittmenge. Da ich aber weiß, dass sich kein Element aus A in B wiederfindet (oder umgekehrt) ... blieb nur die Möglichkeit, dass sich eine Linearkombination aus span(A) in span(B) wiederfindet (oder umgekehrt). Aber diese Möglichkeit kann auch nicht bestenen, da die Vereinigung der Mengen A und B linear unabhängig ist. Und das bedeutet, dass sie keine Linearkombination durch eine andere darstellen lässt. Das hat zur Folge, dass sich in span(A) keine Linearkombination finden lässt, die auch in span(B) enthalten ist. Somit ist ihre Schnittmenge leer. Also: span(A) ∩ span(B) = ∅

Sag mir bitte, wo ich meinen Denkfehler habe ... : /

Answer 1

Die lineare Hülle von egal was ist per Def. ein Unterraum, enthält also immer den Nullvektor. Genauso ist der Schnitt zweier Unterräume wieder ein Unterraum, kann also auch nicht leer sein.