Gegeben seien folgende Vektoren in ℝ3:
v1=\(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\), v2=\(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\), w1=\( \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \), w2=\( \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\).
Sei \( {U}_{1}=L({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 }) \) die lineare Hülle von \( { v }_{ 1 },{ v }_{ 2 } \) und sei \( {U}_{2}=L({ w }_{ 1 },{ w }_{ 2 }) \). Geben sie eine Basis für \( {U}_{1} + {U}_{2} \) an.
Meine Lösung:
$$ {U}_{1} + {U}_{2} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{pmatrix}.$$ Zum Beipiel lässt sich der Vektor \( \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \) wie folgt darstellen: $$\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 1*\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + (-1)*\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + (-1)*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, $$ daraus folgt, dass \( \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\) ebenfalls ein Erzeugendensystem von \( {U}_{1} + {U}_{2} \) ist.
Da aus \( {λ}_{1}*\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + {λ}_{2}*\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + {λ}_{3}*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) folgt, dass \({λ}_{1},{λ}_{2},{λ}_{3} = 0\) ist, sind diese Vektoren linear unabhängig und damit auch eine Basis von \( {U}_{1} + {U}_{2} \).
Ist meine Lösung richtig? Denn in der Musterlösung wird einfach \( \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\) als Basis angegeben. Das ist zwar logisch wie das berechnet wurde, aber ich komme mit der Methode von meiner Lösung besser klar.
