Summe zweier linearer Hüllen?

Question

Hallo die Aufgabe lautet :

Für U =L(u1,u2) und V =(v1,v2)

u1=( 1 2 1 3) u2 = ( 0 4 3 1 ) v1=( -2 1 1 0) v2 =( -1 7 5 4) und x =(  -4 3 2 5)  alle Spaltenvektoren .

Man soll x in eine Summe x= u+v mit u aus U und v aus V  zerlegen . Ist diese Zerlegung dann eindeutig ?

Ich habe  die hüllen addiert sodass x=L(u1,u2 ,v1,v2 )  wobei hier die parameter  a1 bis a4 sein sollen und in die Matrix geschrieben ( u1 u2 v1 v2 | x)

und mit Gaußverfahren die mögliche  Lösung für a1 bis a4 ermittelt .

Ich habe eine gerade als lösungsmenge bekommen dh also unendlich viele Möglichkeiten .

Stimmt das ?

Wenn hier ein eindeutiges a1 bis a4 herauskommen würde , also genau eine lösung wäre dann die zerlegung eindeutig ?

Danke für eure Hilfe !

Answer 1

logischer wäre statt  ( u1 u2 v1 v2 | x) besser  ( u1 u2 v1 v2 | 0_vektor)

dann gibt es mehr als nur die triviale Lösung, also sind
die   4  Vektoren  u1 u2 v1 v2    lin. abh. und damit die Summendarstellung

nicht eindeutig.

Comments

Okay aber mein Ansatz würde auch richtig sein oder?
Wenn hier Zb aber ein linares unabhängiges System rausgekommen wäre gebe es dann also nur eine einzige Lösung für x   oder?
muss dieses dann der 0 Vektor sein? Oder kann es auch ein x sein wie hier angegeben ungleich dem 0 Vektor ?

---

wenn sie lin. unabh. sind gibt es für jeden aus der Summe

eine eindeutige Darstellung. 

Ich würde - wenn du deinen Ansatz läßt -

jedenfalls bemerken sowas wie:also sind die 4 Vektoren lin. abh. und

deshalb ist die Darst. nicht eindeutig,

---

Ah okay !

Nur so interessehalber wenn der Fall eingetreten wäre u1 u2 v1 v2 wären 4  beliebige  linear unabhängige Vektoren im R^4  dann kann man doch aus  u1 u2 v1 v2 eine basis im R^4 damit bilden und man wolle zeigen  das  sich  jedes x aus R^4 auf eine eindeutige weiße zerlegen lässt in

 x=u + v

mit u aus U und v aus V wobei  U=L(u1,u2 ) und V=L(v1,v2).

Wie würde das dann gehen ? Muss ich  hier auch so eine matrix Schreibweise verwenden ?

---

wenn bekannt ist, dass die 4 lin.unabh. sind, ist die Summendarstellung

auf jeden Fall eindeutig.

---

Ist das immer so ? Auch für n Vektoren im R^n?  Ist das eine Definition oder muss man dies beweisen ?

Und im Falle der linearen Abhängigkeit ist x dann immer  mehrdeutig ? Gleiche Frage auch ist dies auch eine Definition dann ? Oder gibt's dazu auch einen Beweis ?

---

 Ist das eine Definition oder muss man dies beweisen ? 

Kommt drauf an wie man definiert hat, meistens wohl so

lin. unabh.

⇔ für den Nullvektor gibt es nur die triviale Lin.komb

⇔ für jeden  darstellbaren Vektor gibt es nur genau eine  Lin.komb

Meistens ist das eine die Def. und das andere wird bewiesen.

Und im Falle der linearen Abhängigkeit ist x dann immer  mehrdeutig ?   Ja,

denn das ist ja das logische Gegenteil.

Beweis ist einfach.