LA: Für lineare Hüllen von Teilmengen von V gilt: < A ∪ B > = << A > ∪ < B >> beweisen

Question

Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum. Weiter seien A und B Teilmengen von V .

Beweisen Sie:
< A ∪ B > = << A > ∪ < B >> .

Dabei bezeichnet < A > die lineare Hülle von A in V .

Ich bin verzweifelt, hat jemand eine Idee wie man das lösen könnte?

Wenn ja, bitte helfen :(

Answer 1

Grundsätzlich sind (fast trivialerweise) für die lineare Hülle die
allgemeinen Hülleneigenschaften erüllt:

(i) \(\;M\subseteq N \; \Rightarrow\;  <M>\subseteq <N>\)
(ii)\(\; M\subseteq <M>\)
(iii)\(\; <<M>>\; = \; <M>\)

Nach (ii) haben wir \(A\subseteq <A>\) und \(B\subseteq <B>\),
folglich \(A\cup B\subseteq <A>\cup <B>\).
Nach (i) folgt daraus:$$<A\cup B>\subseteq <<A>\cup <B>>\quad (*)$$Nach (i) haben wir
\(A\subseteq A\cup B\; \Rightarrow \;  <A>\subseteq <A\cup B>\quad \) und
\(B\subseteq A\cup B\; \Rightarrow \;  <B>\subseteq <A\cup B>\)
folglich
\(<A>\cup <B>\subseteq <A\cup B>\)
Gemäß (i) und (iii) gilt dann$$<<A>\cup <B>>\subseteq<<A\cup B>>=<A\cup B>\quad (**)$$\((*)\) und \((**)\) liefern die zu beweisende Gleichheit.