R-Vektorraum, Basis und Dimension der Unterräume W=<w1,w2,w3>,U=<u1,u2>,W∩U,W+U sowie V/U bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei V ein R-Vektorraum mit Basis v1,...,v4 und seien W = < w1,w2,w3 >, U = < u1,u2 >
Unterräume von V erzeugt durch

w1 :=v1 +v2, w2 :=v1 +v3, w3 :=v3 −v1 bzw.
u1 :=v1 +2v2, u2 :=v3 +v4 .

Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension der Unterräume W , U , W ∩ U , W + U sowie V/U.

Comments

Hier mal ein Anfang:

Vermutung W = <v1,v2,v3>. Ich zeige das, indem ich die Basisvektoren v1, v2 und v3 durch w1, w2,w3 darzustellen versuche:

w1 :=v1 +v2,       

w2 :=v1 +v3,       

w3 :=v3 −v1 

Da w2+w3= 2v3 ist v3= 0.5w2 + 0.5w3 

Da w2-w3= 2v1 ist v1= 0.5w2 - 0.5w3

Fehlt noch v2

v2 = w1 - v1     |v1 einsetzen

v2 = w1 -0.5w2 + 0.5w3

Die ersten 3 Basisvektoren von V lassen sich mit Hilfe von w1,w2 und w3 darstellen. Daher gilt W=<v1,v2,v3> = <w1,w2,w3>. Dim W = 3.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Bestimmen der Basis und der Dimension der Unterräume W, U, \(W \cap U\), \(W + U\) sowie \(V / U\)

Gegeben:
- \( V = \mathbb{R}^4 \) mit Basis \( \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \)
- \( W \) ist der Unterraum von \( V \), aufgespannt durch \( w_1, w_2, w_3 \):
\( w_1 = v_1 + v_2, \quad w_2 = v_1 + v_3, \quad w_3 = v_3 - v_1 \)
- \( U \) ist der Unterraum von \( V \), aufgespannt durch \( u_1, u_2 \):
\( u_1 = v_1 + 2v_2, \quad u_2 = v_3 + v_4 \)

W bestimmen:
W ist der Unterraum von V, aufgespannt durch \(w_1, w_2, w_3\).
\( w_1 = v_1 + v_2, \quad w_2 = v_1 + v_3, \quad w_3 = v_3 - v_1 \)

Um zu bestimmen, ob \( w_1, w_2, w_3 \) linear unabhängig sind, bilden wir die Matrix \( A \):
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Wir bringen \( A \) in die Zeilenstufenform:
1. Addiere die erste Zeile zur dritten Zeile:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
2. Subtrahiere die erste Zeile von der zweiten:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
3. Addiere die zweite Zeile zur dritten Zeile:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \)

Die Matrix ist jetzt in Zeilenstufenform und hat 3 Pivot-Elemente, entsprechend sind \( w_1, w_2, w_3 \) linear unabhängig und somit eine Basis von \( W \).

Dimension von \( W \):
\( \dim(W) = 3 \)

U bestimmen:
U ist der Unterraum von V, aufgespannt durch \(u_1, u_2 \):
\( u_1 = v_1 + 2v_2, \quad u_2 = v_3 + v_4 \)

Um zu bestimmen, ob \( u_1, u_2 \) linear unabhängig sind, bilden wir die Matrix \( B \):
\( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Diese Matrix ist bereits in Zeilenstufenform und hat 2 Pivot-Elemente, entsprechend sind \( u_1, u_2 \) linear unabhängig und somit eine Basis von \( U \).

Dimension von \( U \):
\( \dim(U) = 2 \)

** \( W \cap U \) bestimmen:**
Um \( W \cap U \) zu finden, lösen wir das Gleichungssystem \( c_1w_1 + c_2w_2 + c_3w_3 = d_1u_1 + d_2u_2 \), wobei \( c_1, c_2, c_3, d_1, d_2 \in \mathbb{R} \).

Multiplikationsmatrix:
\( c_1(v_1 + v_2) + c_2(v_1 + v_3) + c_3(v_3 - v_1) = d_1(v_1 + 2v_2) + d_2(v_3 + v_4) \)

Dies ergibt:
\( (c_1 + c_2 - c_3)v_1 + (c_1)v_2 + (c_2 + c_3)v_3 = (d_1)v_1 + (2d_1)v_2 + (d_2)v_3 + (d_2)v_4 \)

Durch Koeffizientenvergleich:
\( \begin{cases} c_1 + c_2 - c_3 = d_1 \\ c_1 = 2d_1 \\ c_2 + c_3 = d_2 \\ 0 = d_2 \end{cases} \)

Lösung:
\( d_2 = 0 \implies c_2 + c_3 = 0 \implies c_3 = -c_2 \)
\( c_1 = 2d_1, \\ c_1 + c_2 + c_3 = d_1 \)

Dieses lineare Gleichungssystem zeigt, dass \( d_1 = c_1 / 2 \) usw.

Basis von \( W \cap U \):
Der Raum wird von \( w_1 - w_2 = v_2 - v_3 \) aufgespannt.

Dimension von \( W \cap U \):
\( \dim(W \cap U) = 1 \)

** \( W + U \) bestimmen:**
\( \dim(W + U) = \dim(W) + \dim(U) - \dim(W \cap U) = 3 + 2 - 1 = 4 \)

Basis von \( W + U \):
Da \(W + U = V\)):
\( \dim(W + U) = 4 \)

** \( V / U \) bestimmen:**
\( \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U) = 4 - 2 = 2 \)