Zeigen Sie, dass Ann(W ) ein Unterraum von V ′ ist, und dass für Unterräume W1 ≤ W2 gilt, dass Ann(W1) ≥ Ann(W2) …

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum, V ′ der Dualraum zu V . Für einen Un- terraum W ≤ V bezeichne Ann(W) ⊆ V′ den Annihilator von W, das heißt, die Menge aller linearen Funktionen f : V → k mit ∀w ∈ W : f(w) = 0. Zeigen Sie, dass Ann(W ) ein Unterraum von V ′ ist, und dass für Unterräume W1 ≤ W2 gilt, dass Ann(W1) ≥ Ann(W2) gilt.

Answer 1

Sei W ≤ V ein  Unterraum von V. Wegen Ann(W) ⊆ V' man man

nur prüfen, dass 0∈Ann(W) und jede Linearkombination zweier

Elemente von Ann(W) wieder in Ann(W) ist:

1. Die 0 von V' ist die lineare Abbildung, die alle Elemente

von V auf die 0 von K abbildet. Also bildet die auch alle

Elemente von W auf die 0 von K ab, ist somit in Ann(W).

2. Seien f,g ∈ Ann(W), also f(v)=g(v)=0 für alle v∈W.

==>  (f+g)(v) = f(v)+g(v)=0+0=0

also f+g ∈ Ann(W). Also Addition abgeschlossen.

3. Sei f ∈ Ann(W) und x∈K.

==>  (xf)(v) = x*f(v) = x*0 = 0

Also auch jedes Vielfache eines f ∈ Ann(W) wieder

in  Ann(W).

Insgesamt folgt so:   Ann(W) Unterraum von V'.

2. Teil: Seien nun W1 ≤ W2 , und f ∈ Ann(W2).

Also f(v)=0 für alle v∈W2. Da aber alle w∈W1

wegen W1 ≤ W2 auch in W2 sind, gilt also auch

für alle w∈W1    f(w)=0 und damit f ∈ Ann(W1).

Also  Ann(W2) ≤ Ann(W1)   qe.d.