Zeigen Sie, dass W1 + W2 der kleinste Unterraum ist, der W1 und W2 enthält.

Question

Aufgabe:

Seien W₁ und W₂  Untervektorräume von V.

Zeigen Sie, dass W₁ + W₂ der kleinste Unterraum ist, der W₁ und W₂ enthält.

Problem/Ansatz:

$$W_{1}+W_{2}\neq \emptyset $$

$$\forall\vec{x}+\vec{x°};\vec{y}+\vec{y°}\in W_{1}+W_{2}:\vec{x}+\vec{x°}+\vec{y}+\vec{y°} \in W_{1}+W_{2} $$

$$\forall a\in V;\vec{x}+\vec{x°}\in W_{1}+W_{2}: a*(\vec{x}+\vec{x°})\in W_{1}+W_{2}$$

Ich bin mir ziemlich sicher das die Antwort darauf einfach ist aber ich komme bis her nicht darauf.

Answer 1

Dass W1 + W2 = { z∈V | Es gibt x∈W1 und y∈W2 mit z=x+y } ein Unterraum von V ist,

der W1 und W2 enthält ist also klar.

Der "kleinste" so ja wohl heißen: Jeder andere Unterraum W, der W1 und W2 enthält,

enthält auch W1+W2.

Sei also W so ein Unterraum, und z ∈W1+W2.

Dann ist nur zu zeigen, dass z ∈W.

z ∈W1+W2 ==>  Es gibt x∈W1 und y∈W2 mit z=x+y

Da W1 und W2 in W enthalten sind, sind also x und y auch in W.

Da W ein Unterraum ist, ist die Summe x+y auch in W

und damit z in W.  q.e.d.