Aloha :)
Die Bedinungsgleichung für einen Vektor \(\vec x\in u\) lautet ausgeschrieben:$$-3x_1+3x_2+2x_3=0\implies x_1=x_2+\frac{2}{3}x_3$$Damit können wir \(\vec x\) wie folgt schreiben:
$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2+\frac{2}{3}x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\0\\1\end{pmatrix}$$und finden 2 Basisvektoren, die wir noch orthogonal machen müssen:$$\vec b_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\vec b_2=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\0\\1\end{pmatrix}-\left(\frac{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\0\\1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\|^2}\right)\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3}\\[0.5ex]1\end{pmatrix}$$
Da wir sogar eine orhtonormale Basis bestimmen sollen, müssen wir noch normieren:$$\vec n_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec n_2=\frac{1}{\sqrt{11}}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$$
