Seien V ein k-Vektorraum und W1, W2.....

Question

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Aufgabe 29
Seien \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( W_{1}, W_{2} \subseteq V \) Untervektorräume mit \( W_{1} \cap W_{2}=\{0\} \). Seien \( x_{1}, \ldots, x_{m} \in W_{1} \) und \( y_{1}, \ldots, y_{n} \in W_{2} \) jeweils linear unabhängig. Zeigen Sie, dass dann auch
\( x_{1}, \ldots, x_{m}, y_{1}, \ldots, y_{n} \)
linear unabhängig sind.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kämpfe jetzt schon einige Zeit mit lineare unabhängigkeiten... ich verstehe das grundkonzept wenns um vektoren mit zahlen geht aber wenn hier nur noch variablen sind weiß ich nicht mehr weiter. Könnts mir vielleicht wer anhand von diesem Beipiel erklären bzw wie ich die unabhängigkeit zeige/beweise

Answer 1

Sei \(\sum\limits_{k=1}^n\alpha_kx_k + \sum\limits_{k=1}^m\beta_ky_k = 0\)

Dann ist \(\sum\limits_{k=1}^n\alpha_kx_k = \sum\limits_{k=1}^m\left(-\beta_k\right)y_k\).

Wegen \(\sum\limits_{k=1}^n\alpha_kx_k \in W_1\) ist auch \(\sum\limits_{k=1}^m\left(-\beta_k\right)y_k \in W_1\).

Also ist \(\sum\limits_{k=1}^m\left(-\beta_k\right)y_k \in W_1\cap W_2\).

Wegen \( W_{1} \cap W_{2}=\{0\} \) ist \(\sum\limits_{k=1}^m\left(-\beta_k\right)y_k=0\).

Weil \(\left( y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \) linear unabhängig ist, ist \(\beta_1=\ldots = \beta_m = 0\).