Zeigen Sie: w1, w2 ∈ U.

Question

Aufgabe:

Im ℝ-Vektorraum ℝ betrachten wir die Vektoren
v1 = (1, 1, −1, 2), v2 = (2, 0, 3, 1), v3 = (0, −2, 1, −1) und w1 = (1, −1, 0, 1), w2 = (1, 5, −3, 4).

Sei U der von v1, v2 und v3 erzeugte Untervektorraum, d.h. U = ⟨v1, v2, v3⟩.
a) Bilden v1, v2 und v3 eine Basis von U?
b) Zeigen Sie: w1, w2 ∈ U.
c) Gibt es ein i ∈ {1, 2, 3}, so dass w1, w2 und vi eine Basis von U bilden?

ich habe ehrlichgesagt keine Ahnung wie man an diese Aufgabe herangehen könnte...

Answer 1

a) Schreibe die drei Vektoren als Spalten in

eine Matrix und wende Gauss an.

Du erkennst: Rang ist 3, also sind die 3 lin.

unabh. und bilden somit eine Basis von U.

b) Bilde ein Gleichungssystem der Art

x*v1 + y*v2 + z*v3 = w1   (bzw. w2)

und zeige, dass es lösbar ist. Dann liegen

w1 und w2 in U.

c) Bei b) hast du ja erhalten v1+v3=w1 und v1-2v3=w2

damit bekommst du auch, dass du v1 und v3

mit w1 und w2 darstellen kannst. Für eine Basis

von U brauchst du also außer w1 und w2 noch v2.

Comments

vielen Dank^^