bestimme eine Orthonomalbasis von W:= spann(w1, w2, w3)

Question

Aufgabe:

Es wird durchgehend das Standardskalarprodukt <x,y> = y^Tx im ℝⁿ verwendet.
Seien w₁= \( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\0 \end{pmatrix} \), w₂= \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \), w₃= \( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \), s= \( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\0 \end{pmatrix} \)

a) bestimme eine Orthonomalbasis von W:= spann(w1, w2, w3)

b) bestimme die Dimension von W

c) Bestimme die orthogonale Projektion des Vektors s auf W

d) Es sei v ∈ ℝⁿ \{0}. Zeige, dass die Abbildung P :  ℝⁿ→ ℝⁿ , P(x) = \( \frac{<x,v>}{<v,v>} \)

Problem/Ansatz:

a) Da bin ich auf folgendes gekommen:
q1: \( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \)

q2: \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \)

q3: \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \)

b) dim(W)=3

bei c und d komme ich leider nicht weiter

Comments

Du solltest nochmal überlegen, ob der Nullvektor Element einer Basis sein kann.

Und Du solltest den Text in d vervollständigen.

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Hallo

ist s wirklich gleich w1?

Orthonormalbasis hat Vektoren der Länge 1.

lul

Answer 1

Die Vektoren q1, q2, q3 sind weder normiert, noch bilden sie eine Basis von spann(w1, w2, w3). Zumindest sind sie paarweise orthogonal zueinander.

w3 lässt sich als Linearkombination von w1 und w2 darstellen: w3 = -w1 + 4w2. Das heißt spann(w1, w2, w3) = spann(w1, w2).

Es ist s ∈ W, also ist s die orthogonale Projektion des Vektors s auf W.

Answer 2

Seien \(e_1,e_2,e_3\) die Standardeinheitsvektoren.

Dann gilt \(w_1,w_2,w_3\in Spann(e_1,e_2)\) und damit

\(Spann(w_1,w_2,w_3)\subseteq Spann(e_1,e_2)\).

Hieraus folgt \(\dim(W)\leq 2\)

Da z.B. \(w_1, w_2\) nicht Vielfache von einander sind,

gilt \(\dim(Spann(w_1,w_2))\geq 2\), also

bilden \(e_1,e_2\) eine Basis von \(W\), und diese

ist orthonormal.