Folgenaufgabe Fakultät

Question

Aufgabe:

\( \frac{n!}{n^5} \)

Ich soll zeigen, ob die Folge divergiert oder konvergiert. Ich weiß dass die Folge divergiert, weil die Fakultät schneller wächst als jede Potenzfunktion, aber wie soll man das mathematisch zeigen?

Comments

https://www.mathelounge.de/1013713/bestimmen-sie-im-konvergenzfall-den-grenzwert-von-n-n-5

Answer 1

Du sollst nicht zeigen, dass sie divergiert oder konvergiert, denn das ist trivial - jede Folge divergiert oder konvergiert.

Du sollst prüfen, ob sie divergiert oder konvergiert, und das Ergebnis der Prüfung nachweisen.

Gut, dass Du schon eine Vermutung hast (die auch richtig ist). Ansatz für den Nachweis:

\(\frac{n!}{n^5} = 1\cdot 2\cdot 3 ....\cdot (n-5) \cdot \frac{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n}{n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n}\)

(gilt für alle \(n\ge 6\)). Kommst Du damit durch?

Comments

Hab gezeigt, dass die inverse Folge 1/dn gegen 0 konvergiert, dadurch muss dn divergieren.

Ist die Schreibweise korrekt?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}a_{n}=\frac{n !}{n^{5}} \\ \frac{n}{\frac{n}{n}}=\frac{n^{5}}{n !}=\frac{1 / n}{n ! / n^{6}} \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n / n}{n ! / n^{6}}=\frac{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1 / n}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n / n f}=\frac{0}{\lim \limits_{n \righta

---

Nein, das geht so nicht (und ist übrigens schlecht lesbar).

Weil das Verhalten der Folge im Nenner ja unklar ist, und man kann nicht sagen "0 durch irgendwas ist 0". Und so kann das auch nicht gehen, weil im Nenner ja mehr oder weniger die gleiche Folge wie vorher steht.

Daher mein Tipp...

Answer 2

Hallo :-)

Es gilt:

$$ \frac{n!}{n^5}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot (n-4)\cdot (n-5)\cdot...\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n}\\[15pt]=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot (n-4)}{n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n} \cdot \left(\prod\limits_{k=7}^{n-5} k\right)\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\\\[15pt]=\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot \frac{n-3}{n}\cdot \frac{n-4}{n}\cdot \left(\prod\limits_{k=7}^{n-5} k\right)\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\[15pt]=1\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot \left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot \left(1-\frac{3}{n}\right)\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\cdot \left(\prod\limits_{k=7}^{n-5} k\right)\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\[15pt]\stackrel{n\in \N_{\geq 4}}{\geq} 1\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\cdot \left(\prod\limits_{k=7}^{n-5} k\right)\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\\[15pt]=[2\cdot 1]\cdot \left[2\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\right]\cdot \left[2\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\right]\cdot \left[2\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\right]\cdot \left[2\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)\right]\cdot \left(\prod\limits_{k=7}^{n-5} k\right)\cdot 1\\[15pt]=[2\cdot 1]\cdot \left[\underbrace{2\cdot \left(1-\frac{4}{n}\right)}_{\geq 1, n\in \N_{\geq 13}}\right]^4\cdot \left(\prod\limits_{k=7}^{n-5} k\right)\stackrel{n\in \N_{\geq 13}}{\geq} 2\cdot 1^4\cdot \left(\prod\limits_{k=7}^{n-5} k\right)\geq \underbrace{\prod\limits_{k=7}^{n-5} k}_{n-11\text{ Faktoren}}\geq 7^{n-11}\\[15pt]=\frac{1}{7^{11}}\cdot 7^n\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow }\infty $$

Also ist \(\frac{n!}{n^5}\) divergent.