Grenzwert von Folgen mit Fakultät n^n / (2n)! und n^2n / (3n)!

Question

Ich probiere gerade diverse Aufgaben dieser Art zu lösen, komme aber immer nicht weiter, weil ich nicht verstehe was man da überhaupt machen soll? Eventuell etwas aus der Fakultät herausziehen und kürzen? Sehe leider nicht wie man da verfahren soll. Oder muss man das in dem Fall gar nicht in dieses e umschreiben?

\( c_{n}=\frac{n^{n}}{(2 n) !}=\frac{e^{\ln n^{n}}}{(2 n) !}=\frac{e^{n \ln n}}{(2 n) !}=? \)
\( d_{n}=\frac{n^{2 n}}{(3 n) !}=\frac{e^{\ln n^{2 n}}}{(3 n) !}=\frac{e^{2 n \ln n}}{(3 n) !}=? \)

 

Comments

EDIT e^ (n * ln(n)) = (e^  ln(n) )^n = n^n

Nur: Das hast du ja schon.

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e^ (n * ln(n)) = eⁿ * e ^ln(n) = eⁿ * n

Ist das dein Ernst ?

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Meinst du den Caret-Konflikt? Den kann ich wahrscheinlich nicht beheben.

EDIT: Deinen Einwand begriffen.

Answer 1

hier musst du gekonnt abschätzen

$$ \frac{n^n}{(2n)!} = \left(\prod_{i=1}^{n} \frac{n}{n+i} \right) \cdot \frac{1}{n!} < \frac{1}{n!} $$

Ähnlich bei der zweiten Aufgabe.

Gruß

Comments

Wie kommt denn diese Umformung zustande, bzw. warum muss man das so umformen?

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Wie kommt die Umformung zu stande?

-> Mach dir klar was für Faktoren du im Zähler und Nenner hast.

Zähler: n Faktoren mit jeweils dem Wert n

Nenner: 2n Faktoren davon n Faktoren die größer sind als n

Warum muss man das so umformen?

-> Ich berufe mich nicht darauf, dass man es muss :D. Damit kann man einfach die Abschätzung auf einen Blick erkennen.

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Ich hatte ja erst überlegt ob man die Fakultät irgendwie aufbrechen kann und dann in einzelne Brüche aufteilt, wo man dann direkt sagen kann "das geht gegen null" ... also z.B. 1/n! = 0 und dann wäre ja auch alles direkt 0, wenn damit multipliziert würde, oder ist das dann zu vage? :D
Das wäre jedenfalls einfacher, weil mit dieser Produktschreibweise tu ich mich zu schwer, da komme ich in der Klausur nie drauf. :/

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Das ist so wie es da steht schon recht vage, aber ich denke du meinst eigentlich dasselbe was ich geschrieben habe. Du musst ja nicht unbedingt das Produktzeichen verwenden:

Kannst ja auch die "Pünktchenschreibweise" benutzen:

$$ \frac{n^n}{(2n)!} = \frac{n}{2n} \cdot \frac{n}{2n-1} \cdots \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n!} $$

Dreh und Angelpunkt ist das Verständnis warum der Nenner schneller wächst als der Zähler! Aus meiner Sicht ist die Verwendung des Produktzeichens "einfacher ", da kürzer.

Solltest du Mathe studieren -> gewöhn dich daran vernünftige Notation zu verwenden. Irgendwann kommst du nicht mehr drum rum.

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"Nur" Informatik. ^^ Darum bin ich auch leicht genervt von dem ganzen Kram, weil uns das überhaupt nicht erklärt worden ist. Mit der Schreibweise komme ich aber glaube ich erstmal besser zurecht, wobei ich dir Recht geben muss - verkehrt wirds nich sein sich mal daran zu gewöhnen. Mit deiner Erklärung hab ichs auch schon halb verstanden, nur selber machen ist ja immer etwas schwiergier. :)

Finde deine Variante auch schon fast einleuchtender, nun kann ich ja einfach die Terme einzeln betrachten und dann für jeden sagen "das läuft gegen 0" usw., dann sollte das ja auch ausreichen, hoffe ich. Läuft ja dann gegen 0 und fertig?!

Danke dir schonmal. ^^

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Nicht ganz ;) (sich die Brüche einzeln anzusehen ist gut, allerdings laufen nicht alle "gegen Null"):

die ersten n Brüche sind kleiner als 1, ihr Produkt also auch. \( \frac{1}{n!} \) läuft allerdings klar gegen 0 somit läuft das ganze gegen Null.

Ah ok hab ich mir schon fast gedacht. In den Mathevorlesungen im Informatikstudium wird oft mit mathematischer Notation herum geschmissen unter der Voraussetzung die Studenten verstehen das sofort :). Nicht zu viel Kopf drum machen, wenn du es nicht sofort verstehst!

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Ja genau, ich hab' mir auch schon einiges angeschaut.. aber der kommt dauernd mit was neuem um die Ecke. :D

Aber bin froh das man hier so tolle Hilfe erhält. (Mehr als im Tutorium bei uns... ^^)

Answer 2

Tipp:

schau vielleicht mal da nach: ->

https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel

da findest du zB für sehr grosse n

(und du sollst ja den Grenzwert für n->oo untersuchen)

zB die Abschätzung  -> n ! -> ungefähr gleich -> e^{n* ln n}

alles klar ?

?

Comments

das ist mir ehrlich gesagt etwas zu abgefahren, bist du sicher das man das nur so lösen kann und nicht einfacher?

kann mir nicht vorstellen das unser prof das Voraussetzt? :S

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"

.. nicht vorstellen das unser prof..

"

ja nun .. kann ja mal sein, dass dein prof  auch Vorstellungen hat..

-> warum wohl schreibt er den Zähler um in die Form   -> e^{n* ln n}

wenn nicht deswegen, dass im nächsten Schritt dann näherungsweise dafür

eben  -> n !  gesetzt werden kann und der Bruch danach ganz einfach weiter

zu  untersuchen ist für   n-> oo ?

was meinst  ?

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Das wird wahrscheinlich nun verkehrt sein aber schau mal, ist das ungfähr was du meinst? (So von der Idee zumindest)

Ich schätze einfach immer ab das die linke Seite kleiner ist als rechts, um mir so einen Ausdruck "zu basteln" der zwar immer ungenauer wird aber berechenbarer wird. 

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"

ist das ungfähr was du meinst? (So von der Idee zumindest) "

  -> JA  .. sieht doch gut und einfach aus -oder?

also dann..

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Ja sorry, dieser Stirling-Kram sah so kompliziert aus. ^^

Danke dir :)