Zeigen, dass Folge aus Brüchen mit Fakultät im Zähler a_n:= (2n)!/(n^(2n)) gegen 0 konvergiert

Question

Man zeige, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\frac{(2 n) !}{n^{2 n}} \)

eine Nullfolge ist.

Hat hierfür jemand eine Idee?

Answer 1

Eine Möglichkeit wäre die Ungleichung \((2n)!<n^{2n} \) für alle \( n\in \mathbb{N}_{\geq3}\) zu zeigen. Das kannst du mit vollständiger Induktion machen. Außerdem ist klar, dass man die Nullfolge als untere Schranke wählen kann, da deine Folge stets ≥0 gilt.

Comments

Es gilt auch \(0<n<n+1\), aber \(\dfrac n{n+1}\) bildet keine Nullfolge.

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Ok, danke für den wichtigen Hinweis!

@ Mona1010. Welche Grenzwerte kennst du schon, bzw. welche Ausdrücke hattet ihr, mit dem man mit etwas Geschick den gegebenen Ausdruck nachoben abschätzen könnte? Wenn nicht, zeige zunächst (induktiv), dass für alle \( n \in \mathbb{N}_{\geq 20} \) die Abschätzung \( (2n)!<n^{2(n-1)} \) gilt.

Weil dann kannst du damit folgendes machen:

\( (2n)!<n^{2(n-1)}=\frac{n^{2n}}{n^2} \Rightarrow \frac{(2n)!}{n^{2n}}<\frac{1}{n^2} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0\)

Das ist eine etwas brutale Abschätzung/Vorgehensweise, aber führt zum Ziel. Wenn du Hilfe beim Induktionsbeweis brauchst, einfach fragen.

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Danke erst einmal. Also ich habe die Aufgabe aus einer Klausur aus dem Internet. Habe noch mal nachgeguckt, als Zusatz steht da noch: "Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass (1 + (1/n))^n -> e " ; aber wie sich das hier verwenden lässt, keine Ahnung...

Zu der Sache mit der Induktion: Dein Ansatz gefällt mir, aber da es sich um eine Klausuraufgabe handelt, vermute ich, dass es vielleicht noch eine einfachere Möglichkeit gibt, vielleicht ja unter Anwendung des obigen Grenzwertes... aber ich habe keinen Plan

Answer 2

Tipp:  \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2\left(2-\frac1{n+1}\right)}{\left(1+\frac1n\right)^{2n}}\xrightarrow{\;n\to\infty\;}\dfrac4{\mathrm e^2}<1\).

Comments

Damit wäre gezeigt, dass die Folge streng monoton fallend; aber woher wissen wir, dass sie gegen 0 konvergiert?

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Offenbar existiert eine Konstante \(c<1\) mit \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le c\). Induktiv folgt \(a_{n+1}\le c^n\cdot a_1\). Schließe daraus, dass \((a_n)\) eine Nullfolge ist. Beachte vielleicht auch, dass obiger Tipp deinen weiter unter erwähnten Zusatz verwendet.

Answer 3

Die Bildungsvorschrift hat die Form \( \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{2n}{n} \)

Da alle Faktoren zwischen 0 und 1 liegen, gilt

\( \frac{1}{n} ≥ \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{2n}{n} \).

Da 1/n schon allein gegen 0 konvergiert, konvergiert \( \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{2n}{n} \) erst recht gegen 0.

Comments

Danke, aber du schreibt, dass alle Faktoren zwischen 0 und 1 liegen, aber \( \frac{2n}{n} = 2 > 1 \), oder nicht?

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Du hast recht, ich habe den Faktor 2 übersehen.