Konvergenz und Grenzwert von Folgen mit Brüchen bestimmen. a_n = ((2n^{3}+7n^{2})/((n+2)(n+1))-2n+1)

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folhe auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert:

a) \( \lim\limits_{n\to\infty} \)(\( \frac{2n^2+7n^3-2n+1}{(n+2)(n+1)} ) \)

b) \( \lim\limits_{n\to\infty} \)(-1)ⁿ [(-1)ⁿ+\( \frac{2}{n} \)]

Nachtrag:

Die Aufgabe a lautet anders.

$$\dfrac{2n^3+7n^2}{(n+2)(n+1)}-2n+1$$

Answer 1

a)  Falls die Aufgabe so lautet:

Comments

Danke, aber die -2n+1 steht außerhalb von dem Bruch.

Answer 2

Zu b) Die Glieder der Folge -1; 2; 1/3; 3/2; 3/5; 4/3; 5/7; 5/4; 7/9; 6/5;... zu Paaren zusammengefasst:

[-1; 2]; [1/3; 3/2]; [3/5; 4/3]; [5/7; 5/4]; [7/9; 6/5];... bilden eine Intervallschachtelung von 1.

Die untere Intervallgrenze (n-2)/n ergibt sich für n ungerade. Die obere Intervallgrenze (n+2)/n ergibt sich für n gerade.

Das n-te Intevall ist [(2n-3)/(2n-1); (n+1)/n].

Answer 3

Die Aufgabe lautet anders.

((2n^{3}+7n^{2})/((n+2)(n+1))-2n+1)

Bringe alles auf einen Bruchstrich (Bruchaddition, Klammern auflösen im Zähler...) (-> 1. alternate form)

Dann weiter mit Bruchrechnung oder wie in der Antwort von Grosserloewe.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((2n%5E3%2B7n%5E2)%2F((n%2B2)(n%2B1))-2n%2B1)

Comments

Wenn ich den Bruch erweiter (bzw. zusammenfasse, bekomme ich (-7n²-2)/(n²+3n+2) raus.

Ist das korrekt?

---

Nein. Vermutlich nicht. Da sollte die erste "alternate form" herauskommen.

Zeige mal deine Umformung.

---

Okay das habe ich mir schon gedacht. Ich habe -(2n+1)*(n²+3n+2) gerechnet um den Bruch zu erweitern. Das war dann wohl falsch oder?

Könntest du mir bitte in den einzelnen Schritten zeigen, wie man auf die erste alternate form kommt? Wäre Dir sehr dankbar!