Folge a_{n}:=(1+6n+2n^{2})/((n+3)*n) untersuchen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz?

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie die Folge, deren Glieder unten für n £ N angegeben sind, auf Beschränktheit, Monotonie & Konvergenz.

a) (1+6n+2n^2)/((n+3)*n)

Problem/Ansatz:

Also ich habe Schwierigkeiten eine Folge auf diese Eigenschaften zu untersuchen.

Zwar habe ich vor mir liegen wie auf was man genau achten soll wenn man es auf die Beschränktheit, Monotonie & Konvergenz untersucht jedoch fällt es mir schwer.

Deswegen würde ich mir freuen wenn es jemand mit diesem Beispiel machen würde damit ich sehen kann wie es geht und die anderen Aufgaben dann selber versuche zu lösen.

Danke an alle :)

Comments

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Answer 1

(1+6n+2n²)/((n+3)*n)=\( \dfrac{2n^2+6n+1}{n^2+3n} \) geht für n→∞ gegen den Quotienten aus den Koeffizienten der quadratischen Glieder in Zähler und Nenner, 2/1=2

Answer 2

Aloha :)

Wir schreiben die Folgenglieder zunächst etwas um:

$$a_n=\frac{1+6n+2n^2}{(n+3)n}=\frac{1+2n(3+n)}{(n+3)n}=\frac{1}{n(n+3)}+\frac{2n(n+3)}{n(n+3)}=2+\frac{1}{n(n+3)}$$

Der Grenzwert der Folge ist: \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2\).

Wir untersuchen die Monotonie:$$a_{n+1}-a_n=\left(2+\frac{1}{(n+1)(n+4)}\right)-\left(2+\frac{1}{n(n+3)}\right)$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{1}{(n+1)(n+4)}-\frac{1}{n(n+3)}=\frac{n(n+3)-(n+1)(n+4)}{n(n+1)(n+3)(n+4)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{n^2+3n-(n^2+5n+4)}{n(n+1)(n+3)(n+4)}=\frac{-2n-4}{n(n+1)(n+3)(n+4)}<0$$Es ist also \(a_{n+1}<a_n\), d.h. die Folge \((a_n)\) ist streng monoton fallend.

Das Maximum der Folge ist daher: \(a_1=2+\frac{1}{1\cdot4}=\frac{9}{4}\).

Die Folge ist nach unten durch ihren Grenzwert \(2\) beschränkt und nach oben durch \(\frac{9}{4}\).