Reihe von Folge a_k:= k! / k^k konvergiert. Ist dieser Beweis richtig?

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k!}{k^k}} \) konvergent?

Problem/Ansatz:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}} \) = e^x 

Nun wende ich das Majorantenkriterium an und schätze nach oben ab:

a_k := \( \frac{k!}{k^k} \) ≤  \( \frac{k!}{x^k} \) =: c_k, x∈ℝ

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k!}{x^k}} \) = e^-x = \( \frac{x}{e} \) 

Somit konvergiert \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k!}{k^k}} \) nach dem Majorantenkriterium.

Ist das so richtig? Danke für jede Antwort schonmal :)

Comments

Majorantenkriterium geht auch: Für k≥3 ist$$\frac{k!}{k^k}=\prod_{n=1}^k\frac nk\le\frac1k\cdot\frac2k\cdot\prod_{n=3}^k\frac nn=\frac2{k^2}.$$

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Für den Fall, dass da noch eine Aufgabe folgt, die auf diese Frage aufbaut. Tipp: https://www.mathelounge.de/640578/durch-konvergenz-zugehorigen-reihe-beweisen-dass-nullfolge

Answer 1

 \( \frac{k!}{k^k} \) ≤  \( \frac{k!}{x^k} \)

Für welches x soll das gelten ?

Ich würde es eher mit dem Quot.krit. versuchen.

Also

 \(    \frac { \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} } {  \frac{k!}{k^{k}}} \)

 \(    = \frac{k^k(k+1)!}{k!(k+1)^{k+1}}  \)

Kürzen gibt

 \(    = \frac{k^k(k+1)}{(k+1)^{k+1}}  \)

nochmal

 \(    = \frac{k^k}{(k+1)^{k}}  = (1-\frac{1}{(k+1)} )^k \)

geht gegen e^(-1) ist also ab einer gewissen Stelle

sicher kleiner  als 0,5 .

Somit konvergiert die Reihe.

Comments

Ach stimmt. Das QK bietet sich hier ja auch an. Aber wäre meins denn auch richtig für ein festes reelles x ? Also x verändert sich nicht

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Ach so, du könntest ja sogar 1=x wählen und hättest dann

die Reihe für e^(-1) als Majorante. Müsste auch stimmen.

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Hallo,

nein, das stimmt nicht. Die Zeile vor "Somit" in der Frage ist falsch - beide Gleichheitszeichen.

Gruß