Ist diese Reihe mit Fakultäten konvergent? ∑ 2(i!)/(2i)!

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie die Reihen, ob sie konvergent ist.

$$ u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 2 ( i ! ) } { ( 2 i ) ! } $$

Problem/Ansatz:

ich habe die durch die die Geometrische Folge überprüft, aber kommt ein komisches Ergibis raus 1.

Comments

Was ist mit dem Quotientenkriterium?

Answer 1

Quotientenkriterium liefert

a_i+1/a_i =  ( 2(i+1)! / (2i+2)! )  /     ( 2i! / (2i)! )

          =   ( 2(i+1)! *(2i)! )   /   ( (2i+2)! ) *  2i! )

nun ist    2(i+1)!  /  ( 2i! )  aber nur i+1  , alles andere kürzt sich weg.

also =    (i+1) * (2i) !    /    (2i+2)!

wieder kürzen gibt

        =   (i+1) /  (  (2i+1) (2i+2) )

und noch mal

       = 1  /  (  (2i+1) *2 )

und das ist immer kleiner als 1/2, also Reihe konvergent.

Comments

vielen lieben Dank aber wie weiß man welche methode muss man nehmen

ich meine Quotientenkriterium, Geometrische oder Arithmethische um den Grenzwert zu bekommen? any Tipps?

---

Im Zweifelsfalle mal ein paar ausprobieren:

Quotienten, Wurzel

oft hilf auch: Majorante.