für welche Werte von x ist die Reihe konvergent?

Question

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Hausaufgabe H.10.2
Wir definieren
\( S(x):=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}, \quad C(x):=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{(2 k) !} \)
a) Für welche \( x \in \mathbb{R} \) sind diese Reihen konvergent?
b) Zeige, dass für diese \( x \) gilt:
\( (S(x))^{2}+(C(x))^{2}=1 . \)

Aufgabe:

Answer 1

Du weißt es wahrscheinlich noch nicht, aber diese beide Reihen definieren den Sinus und Cosnus. Damit ist die Reihe für alle x Konvergent und die b) ist klar auf Grund des Additionstheorem.

Aber, da du das nicht wissen sollst:

Leipnitz Kriterium anwenden.

Für die b) würde ich spontan sagen: Chauchy Produkt anwenden und dann Reihen zusammenfassen.

Comments

Dankeschön:) das wusste ich tatsächlich nicht