Zeigen, dass der Grenzwert einer Folge gleich 0 ist

Question

Ich hänge fest:

Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{H}} \) eine positive Zahlenfolge mit \(lim_{n\to\infty}\) \( n a_{n}=b, \) deren Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) konvergiert. Zeigen Sie, dass \( b=0 \) ist.

Answer 1

Hallo,

wenn \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) konvergiert, so muss \(a_n\) eine Nullfolge sein.

Comments

aber n*a_n ???

Answer 2

Die Aussage ist falsch. Nehme $$a_n=\begin{cases} 1/n & n \text{ ist Zweierpotenz} \\ 2^{-n} &\text{ sonst}  \end{cases}$$
Die Folge \((na_n)\) ist divergent und $$\sum a_n=\sum_{n=2^k} \frac{1}{2^k}+\sum_{n\neq2^k} \frac{1}{2^n}$$ ist konvergent als die Summe zweier konvergenten Reihen.

Die Aussage stimmt aber falls wir noch dazu voraussetzen \( a_n\)  monoton fallend ist.
Sei \( \epsilon >0\), nach dem Cauchy Kriterium für Reihen gibt es  \( N\) und  \( 2n\geq n \geq N \) mit $$ |a_{n+1}+...+a_{2n}|<\frac{\epsilon}{2}.$$
Wir zeigen nun, dass die Folge der geraden und ungeraden Folgenglieder von  \( (na_n)\) gegen 0 konvergieren (und somit die Folge selbst).
Zum obigen  \( n \geq N\) gilt  $$|2na_{2n}|=2|na_{2n}|=2|a_{2n}+...+a_{2n}| \leq2|a_{n+1}+...+a_{2n}|  < 2 \frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$ 
Die Folge der ungeraden Folgenglieder konvergiert gegen 0 weil
$$ 0\leq (2n+1)a_{2n+1}=2na_{2n+1}+a_{2n+1}\leq2na_{2n}+a_{2n}$$und Einschließungskriterium.

Answer 3

Beweisskizze (bitte selbst vervollständigen): Setze b_n = n*a_n. Laut Voraussetzung existiert der Grenzwert b dieser Folge. Da alle Folgewerte positiv sind, muss b ≥ 0 sein. Angenommen: b > 0. Dann gibt es eine positive Zahl c (zum Beispiel b/2), so dass b_n ≥ c für "fast alle" n. Es folgt a_n = b_n / n   ≥ c / n für fast alle n. Dann kann aber die Reihe der a_n nicht konvergieren.