Struktur (P(N), Schnittmenge) ist ein Monoid aber keine Gruppe

Question

Es sei E die Menge aller endlichen Teilmengen von N. Beweisen Sie:

Die Struktur $$(\mathcal{P}(\mathbb{N}, \cap))$$ist ein Monoid, aber keine Gruppe.

Meine Überlegung war, dass die Struktur ein Monoid ist. Das neutrale Element ist die Menge selbst. So erhält man die Menge selbst, wenn man die Menge mit dem neutralen Element (auch die Menge selbst) verknüpft. Weiss aber nicht, ob das richtig ist, denn dann wäre die Struktur auch eine Gruppe, das inverse Element wäre dann die Menge selbst.

Answer 1

Meine Überlegung war, dass die Struktur ein Monoid ist. Das neutrale Element ist die Menge selbst. So erhält man die Menge selbst, wenn man die Menge mit dem neutralen Element (auch die Menge selbst) verknüpft.
Also ist das neutrale El. die Menge IN.
Außerdem musst du ja noch assoziativität von ∩ zeigen, aber das ist vielleicht schon geschehen und
dass beim Schnitt zweier Teilmengen von IN wieder eine Teilmenge IN rauskommt ist wohl klar,
wäre aber für den Nachweis auch zu erwähnen.

Inverse Elemente gibt es allerdings ( außer für IN selber) nicht.
Denn womit willst du z.B. {1;2;3} schneiden, damit IN rauskommt.


Weiss aber nicht, ob das richtig ist, denn dann wäre die Struktur auch eine Gruppe,
EBEN NICHT !
 das inverse Element wäre dann die Menge selbst.