Zeigen dass, wenn H endlicher Monoid, dann (H,⋅) bereits eine Gruppe

Question

Es liegt mir folgende Aufgabe vor:

"Es sei (H,⋅) eine Halbgruppe, so dass die Kürzungsregeln gelten, d.h. für alle a,b,x∈H die Implikationen gelten: 

a⋅x = b⋅x ⇒ a=b und x⋅a = x⋅b ⇒ a=b

Zeigen Sie: Wenn H ein endlicher Monoxid ist, dann ist (H,⋅) bereits eine Gruppe."

Leider weiss ich nicht, was ein endlicher Monoid ist. Ich kenne bislang nur den Begriff des Monoiden an sich. Leider komme ich nicht weiter. Ich weiss zwar, dass ein Monoid ein neutrales Element beherbergt. Und dass eine Gruppe ein inverses besitzt.

Answer 1

Ein Objekt ist endlich wenn dessen Mächtigkeit endlich ist. Zu jedem Element a aus H gibt es also zwei verschiedene Exponenten m und k mit $$a^k =a^m$$ Nach Kürzungsregel ist $$a^{k-m-1}=a^{-1}$$

Comments

Zunächst einmal danke für Deine Antwort. Frage: Wieso gibt es zu jedem a aus H zwei verschiedene Exponenten m und k? Die Schlussfolgerung mit der Kürzungsregel erschliesst sich mir auch nicht ganz. Würde bedeuten, dass k = m ist, oder?

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Es gibt diese zwei Exponenten, da H endlich ist und damit insbesondere auch die Menge $$ \{a,a^2,a^3,\ldots \}$$.Und aus $$a^n=1$$ folgt $$a^{n-1}=a^{-1} $$ nach Definition des Inversen.

Answer 2

Sei H der endliche (Das heißt einfach nur: Es gibt nur endlich viele Elemente in H) Monoid mit neutralem Element 1. Und ( siehe Vor. es gelten die Kürzungsregeln.
Du musst ja nur zeigen, dass es zu jedem a aus H ein inverses Element gibt.

Sei nun a aus H.
1. Fall:   a= 1 , dann ist   a*1 = 1 also 1 das inverse Element von a.
2. Fall:  a ≠ 1. Betrachte die "Potenzen" von a, also  a^2=a*a ,  a^3=a^2*a* , a^4 =a^3*a etc.
Da H endlich ist, können diese Potenzen auf Dauer nicht alle verschieden sein, d.h. es gibt mindestens
zwei verschiedene n und k aus IN mit   a^n = a^k.
Da sie verschieden sind ist o.B.d.A. n>k , also wird durch k-fache Anwendung der Kürzungsregel aus
       a^n = a^k   bzw.   a^n = a^k * 1
                        a^{n-k} = 1
Ist n-k=1 ist   also  a = 1 und damit wegen Fall 1 alles erledigt.
ist n-k>1  haben wir also  a^x = 1 mit x>1 ,  also
                                         a * a^{x-1} = 1 und damit ist   a^{x-1} das gesuchte (Rechts)Inverse zu a.

Wenn man die Gleichung   a^x = 1 anders aufteilt:
                                      a^{x-1} * a = 1
sieht man, dass es auch ein Linksinverses gibt.                 q.e.d.

Comments

die Eins in H muss übrigens nicht vorausgesetzt werden

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Besten Dank. Leider habe ich wie so oft Mühe den Anschluss gleich zu finden. Also: Wir müssen nur zeigen, dass es für jedes Element a aus H ein Inverses gibt. Es gibt zwei Fälle, entweder ist a gerade gleich neutrales Element, in diesem Falle ist das Inverse gleich a oder a ist verschieden von 1.

In diesem Falle soll man die Potenzen beachten. Jetzt verstehe ich leider nicht, wieso wir überhaupt Potenzen anschauen müssen. Da komm ich nicht mehr mit.

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In diesem Falle soll man die Potenzen beachten. Jetzt verstehe ich leider nicht, wieso wir überhaupt Potenzen anschauen müssen. Da komm ich nicht mehr mit.

Man muss nicht die Potenzen betrachten, aber wenn man es tut, erreicht man das Ziel.

Irgendwie muss ja die Tatsache, dass es nur endlich viele Elemente gibt, eine Rolle spielen.

Und wenn man jetzt ein Element immer wieder mit sich selbst multipliziert, würde das in Halbgruppen, die

nicht endlich sind eine unendliche Folge verschiedener Zahlen geben.

Wegen der Endlichkeit in unserem Falle, muss also irgendwann mal sich etwas wiederholen, also

eine Gleichheit  a^n = a^k entstehen. Und daraus läßt sich wie Gast bj828 ja ganz kurz gezeigt hat,

die Existenz eines Inversen von a herleiten. Und das will man ja.