Zeige dass die Menge ein Monoid ist

Question

Aufgabe:

Durch (M,ο) mit M := {g:R->R} und der üblichen Hintereinanderausführung von ο von Abbildungen ist ein Monoid gegeben ( das muss nicht gezeigt werden)

Betrachtet wird die Teilmenge

U:= {g:R->R |  ∀x∈R: g(x)= a*x +b mit a,b ∈R, a≠0}

der Menge M. Zeigen Sie das (U,ο) ein Untermonoid von M ist.

Problem/Ansatz:

Ich möchte erst zeigen, dass U ein Monoid ist, d.h ich möchte die folgenden Eigenschaften beweisen:

1. Abgeschlossenheit

2. Assoziativität

3. es ex. ein neutrales Element

Dann muss ich zeigen, dass das neutrale Element von U und M das selbe Element ist.

1. Abgeschlossenheit

Sei x,a,b ∈ U

f(x) = ax+b

a ∈ R

b ∈ R

x ∈ R

=> f(x) ∈ R

Das reicht wahrscheinlich nicht oder?

2.

Hintereinanderausführung von Funktionen ist assoziativ.. weiß aber nicht wie ich es aufschreiben soll

3.

Vielleicht die Identitätsfunktion benutzen

LG

Comments

Hi bahamas,

vielleicht als kleiner Denkanstoß für 1:

Du sollst zeigen, dass für \(f, g \in U\) gilt \(g \circ f \in U\).

Gruß,

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Danke, die Idee kam mir beim Schreiben der Aufgabe ebenfalls. @mathef hat es unten in seiner Lösung stehen

Answer 1

1. Abgeschlossenheit

Sei x,a,b ∈ U

f(x) = ax+b


a ∈ R

b ∈ R

x ∈ R


=> f(x) ∈ R

Das reicht wahrscheinlich nicht oder?

Nein, du musst ja zeigen, dass die Hintereinanderausführung zweier Elemente aus U

wieder ein Element von U ist.

Hast du also etwa f(x)=ax+b und g(x)=cx+d

dann ist die Hintereinanderausführung

(fog)(x) = a(cx+d)+b = acx + ad+b

und das ist wieder von der Form ux+v

mit u=ac und v=ad+b  und weil a und c beide nicht 0

sind, ist auch ac nicht 0.

2. Hintereinanderausführung von Funktionen ist assoziativ.. weiß aber nicht wie ich es aufschreiben soll

Das gilt laut Vor. für alle Elemente von M (M ist ja ein Monoid.) , also auch für alle von U;

denn da U⊆M ist, sind die ja auch alle in M.

3.  Vielleicht die Identitätsfunktion benutzen . Genau und die ist ja

f(x) = 1*x + 0 also ein Element von U.

Das U ist sogar eine Gruppe !

Comments

Hi, vielen Dank für die Lösung.

Das neutrale Element hat dann die Form e= f(x) = 1*x +0 oder 1*x +0 oder a = 1 und b= 0?

Wie würde man e richtig notieren?

LG