Question

Sei V ein R-Verktorraum und S, S' ⊂ V endliche Teilmengen. Beweisen oder widerlegen Sie:

i) Aus S ⊂ S' und S ≠S' folgt L(S) ⊂ L(S ') und L(S) ≠ L(S ').

ii) Es gilt L(L(S)) = L(S).

iii) Gilt für s ∈ S eine Gleichung s =∑ i=1 bis n (s_i) mit s_i ∈ S ohne {s}, dann folgt L (Sohne{s})=L(S):

iv) Ist S eine Basis für V und S' ⊂ S, dann folgt L(S' ) ∩ L(S ohne S' ) = {0}.

v) Aus S ∩ S' = ∅ folgt L(S) ∩ L(S' ) = {0}.

Answer 1

(i) ist falsch. Nimm S = { (0;1) ; (1;0) } und S ' = { (0;1) ; (1;0) ; (1;1) } Dann L = L ' = IR^2

(ii) wahr.  L(S) Teilmenge von L(L(S)) ist wohl klar, da jedes Element v von L(S) in der Form 1*v
geschrieben werden kann, also eine Linearkombinnation
 (und zwar eine sehr einfache) von Elementen aus L(S) ist.

Ist umgekehr W eine Linearkomb von Elemneten von L( L(S)) etwa w= a1*v1 + a2*v2 + ... an*vn
und die vi sind aus L(S), dann gibt es für jedes v eine Linearkomb von Elementen
aus S also sowas wie  v1= b1*s1 + b2*s2 + ...  bk*sk
Das in die erste Summe eingesetzt liefert eine Darstellun von w nur mit Vektoren aus S
also w aus L(S).

vielleicht war das ja schon eine Hilfe, sonst poste ruhig noch mehr

Comments

also zu i) S≠S' und S ⊂ S', aber warum hast du geschrieben dass L=L' verstehe ich nicht.

grüße

---

alles was du mit  L erzeugen kannst ist

a*(0;1)+  b* (1;0)   =  (b ; a ) also alles aus IR^2

das kannst du auch mit   a*(0;1)+  b* (1;0)    +  0 * ( 1; 1) =  (b ; a )

erzeugen.

---

ah ok das habe ich verstanden :) danke