Für welche α ∈ ℝ ist die folgende Summe von linearen Hüllen in ℝ^3 direkt:

Question

Für welche α ∈ ℝ ist die folgende Summe in ℝ³ direkt:

\( \mathcal{L}\left(\left\{\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 5\end{array}\right)\right\}\right)+\mathcal{L}\left(\left\{\left(\begin{array}{c}17 \\ 10 \\ 20+\alpha\end{array}\right)\right\}\right) \)

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Answer 1

das wären alle \(\alpha\) für die der Schnitt der beiden Linearen Hüllen nur den Nullvektor enthält, was gleich bedeutend ist zu:

Die 2 Vektoren aus der 1. linearen Hülle und der Vektor aus der zweiten linearen Hülle sind linear unabhängig.

Gruß

Comments

Es muss also gelten : 1.lineare Hülle schnitt 2.lineare Hülle = {0}

also ( 2 1 3) + ( 3 2 5) = ( 17 10 20+alpha) ?

Ich bin mir nicht sicher wie ich die beiden vektoren der 1.linearen Hülle zsm schreiben soll. schreibt man + oder schreibt man das ganz als eine gesamte matriz ?

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Nein, die zweite Gleichung ist kein Nachweis dafür, vor allem ist deine Gleichung sowieso nicht erfüllbar. Um das zu zeigen habe ich doch den zweiten Abschnitt geschrieben.

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ok werde ich dann machen . aber man könnte auch um den schnitt zu berechnen auch gleich setzen.

also : alpha * vekotr 1 +  alpha2 vektor 2 + aplha3 vektor 3 = 0

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und ich müsste dann noch die summe der beiden linearen Hülle berechnen richtig?

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1. Nein um den Schnitt zu berechnen reicht diese Gleichung nicht. Sie führt ja noch nicht mal in diese Richtung. Die eigentliche Gleichung um zu prüfen ob der Schnitt leer ist, ist DIE GLEICHE Rechnung wie die der linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren. Denn was du hier eigentlich hast ist einmal eine Ebene (die durch Null verläuft) und eine Gerade durch den Ursrpung.

2. Das macht doch gar kein Sinn. Das wäre doch dann gar kein Vektor mehr. Du hast 3 Vektoren und prüfst diese auf lineare Unabhängigkeit. Die drei Vektoren haben natürlich auch drei Koeffizienten die du unterscheiden musst....

Ok du hast es angepasst jetzt ist es richtig.

Die direkte Summe der beiden linearen Hülle wäre der \(\mathbb{R}\), da braucht man nichts zu rechnen.

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ich habe die gleichung nach dem gauß verfahren gemacht . Habe in der dritten Zeile (-7-aplha) *aplha 3= 0 also alpha3 = 0 . ist das soweit richtig ?

ich habe noch eine frrage, muss ich nicht hier auch noch nach aplha auslösen ? denn in der aufgaben stellung steht : für welche aplha aus R ist die folgende Summe in r3 direkt .

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Eigentlich müsstest du am Ende rausbekommen, dass die 3 Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn \(\alpha \neq 7\).

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wie hast du es raus bekommen ? könntest du mir dann bitte einen weiteren ansatz geben ?

I. 2*gamma1 + 3*gamma2 + 17*gamma3 =0

II.gamma1 + gamma2 + 10*gamma3= 0

III. 3*gamma1 + 5*gamma2 +(20+aplha)*gamm3=0

was du dann getan ?

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Deine II. Gleichung ist falsch. Da fehlt der Faktor 2.

Wenn du es mit dem Gauß-Verfahren auf Stufenform bringst müssest du am Ende auf die Gleichung

$$ (-7+ \alpha) \alpha_3 = 0 $$

kommen (wenn ich das im Kopf richtig überschlagen habe, müsste aber stimmen). Das bedeutet wenn \(\alpha = 7\) ist, hat das LGS unendlich viele Lösungen (da \(\alpha_3\) beliebig sein kann) und somit wären die Vektoren linear abhängig.

Find ich persönlich umständlich, hier wie ich es gerechnet habe:

Da die ersten beiden Vektoren linear unabhängig sind suchst  du die eindeutige Linearkombination, so dass

2a + 3b = 17

a+2b = 10

3a + 5b = 20 + \(\alpha\).

Aus den ersten beiden Gleichungen geht schon hervor, dass a=4 und b=3 sein muss , eingesetzt in die dritte Gleichung findest du raus, dass dann \(\alpha=7\) ist, womit dies der einzige Fall wäre für den die 3 Vektoren linear abhängig sind.

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stimmt bei der zweiten gleichung habe ich mich vertan. danke.

ich habe es grade nochmal nachgerechnet ohne gauß verfahren. und zwar habe :

III - I => gamma 1 + 2*gamma2 + 3*gamma3 + aplha*gamma 3 = 0 (IV.)

IV - II. = > -7*gamma3 + aplha*gamma3 = 0 => -7 = aplha :)