Zwei lineare Hüllen von zwei Vektorräumen U und V. Nun muss ich zeigen, dass U Teilmenge von V ist. Wie?

Question

also ich hoffe, dass ich mich bei meiner Frage korrekt ausgedrückt habe...

Also, ich habe U = span(a₁,a₂) und V = span(b₁,b₂,b₃)

a₁ = ( 0 3 5 3 )

a₂ = ( 0 1 1 1 )

b₁ = ( 1 2 3 0 )

b₂ = ( 0 1 2 1 )

b₃ = ( -1 0 0 2 )

Diese Vektoren sind aber keine Zeilen-, sondern Spaltenvektoren des ℝ⁴. Und U und V sind auch Mengen von Spaltenvektoren ... soweit ich das verstanden habe.

Nun muss ich zeigen, dass U ⊆ V ist. Aber was bedeutet das genau? Soll U nur eine Teilmenge sein? Oder soll U der Unterraum von V sein? Und wie mache ich das? Bedeutet es, dass jeder Vektor aus U auch als Linearkombination durch die Vektoren der Linearkombination von V dargestellt werden können? Oder andersherum? Bitte helf mir! :)

Comments

Ich denke, da ist nur zu zeigen, dass U eine Teilmenge von V ist. Da steht ja nichts von Unterraum. Du musst also zeigen, dass, wenn du einen Vektor v als Linearkombination in der linearen Hülle von U hast, dass dieser dann auch in der linearen Hülle von V enthalten ist. Da könntest du ein LGS aufstellen und damit zeigen, dass es zu gegebenen Koeffizienten vor a1 und a2 immer Koeffizienten vor b1, b2 und b3 gibt, so dass $$\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 = \mu_1 b_1 + \mu_2 b_2 + \mu_3 b_3$$ gilt.

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Hi, es genügt, zu zeigen, dass die beiden "a"s durch die drei "b"s linear kombiniert werden können. Dies ist hier bereits durch "Hingucken" (und anschlie0endem Aufschreiben) möglich. Gelingt dies, ist klar, dass U eine Teilmenge von V ist.

Desweiteren sind lineare Hüllen nicht leerer Mengen von Vektoren konstruktionsbedingt immer auch Vektorräume, sodass hier aus der Teilmengenbeziehung U⊆V auch folgt, dass der Vektorraum U ein Untervektorraum des Vektorraums V ist. Dies soll hier nicht gezeigt werden; es ist - eigentlich - offensichtlich. Dennoch muss man dies, wie Deine Frage zeigt, auch erst entdecken.