die Verifizierung einer Formel

Question

Ich habe das thema nicht verstanden, und verstehe somit die Aufgabe auch nicht.

Answer 1

Erst mal das Beispiel

F^-1(U) bestimmen:   Matrix A * (x1,x2,x3)^T = (4 , -5, -7 )^T   

da bekomme ich als Stufenform

7   3    1    -5
0   1   -2     3
0    0  0      0 

mit x3 = s also  x2= 3+2s und x1=-2 + (5/7)s  also alle Lösungen

( -2 + (5/7)s   ;  3+2s   ;   s )^T oder besser ohne Brüche ( -2 + 5s   ;  3+14s   ;   7s )^T

Das sind nur die Urbilder von (4 , -5, -7 )^T   .   Da im Span noch alle Vielfachen davon liegen,

wegen der Linearität auch im Urbildraum alle Vielfachen

also a* ( -2 + 5s   ;  3+14s   ;   7s )^T    bzw.  bei angepasstem Parameter t statt s

( -2a + 5t   ;  3a+14t   ;   7t )^T   =a*( -2 ;  3   ; 0 )^T  +t*(  5   ;  14   ;   7 )^T 

Also 2-dimensional.

Passt mit dim(U∩Ran(F) ) = 1 und dim Ker(F)=1  .

Dass F^-1(U allgemein ein Unterraum ist, prüfst du mit den Unterraumkriterien.

Rest kommt später.

Comments

Und wenn v1,...,vn eine Basis von V  ist, und v aus f^-1(U) , dann v=a₁v₁ +....+a_nv_n  

und es gibt u aus U mit f(v) = u, also wegen Linearität u = a₁f(v₁ )+....+a_nf(v_n )

Andererseits sind die f(v_i) = 0 für vi aus Ker(f) , also können für die entsprechenden

ai beliebige Werte gewählt werden,  und die übrigen bilden eine Basis von Ran(F).

Da u aus U werden von den Basisvektoren von Ran(f) nur diejenigen benutzt, die auch in U liegen,

also diejenigen, die eine Basis von U∩Ran(F) bilden, besteht eine Basis von f^-1(U) aus

den vi, deren Bilder eine Basis von  U∩Ran(F)bilden, und denen, die im Ker(f) liegen.

und damit ist deren Anzahl dim( U∩Ran(F)) + dim(Ker(f)).