Bild und Kern: Es sind 3 Unterräume gegeben, es müssen folgende Aussagen bewiesen werden

Question

Gegeben seien drei Unterräume U_1, U_2, U₃ eines ℝ-Vektorraumes und lineare Abbildungen φ_i, i = 0, ..., , entsprechend des Schemas
{0} → U₁ → U₂ → U₃ → {0}.      [Auf den Pfeilen steht zuerst ein φ_{0, dann} φ_{1, dann}  φ_{2, dann} φ₃]
Wir nehmen an, dass in (1) die Gleichung 
Kern (φ_i) = Bild (φ_i-1)
für alle i = 1, 2, 3 gilt. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) φ₁ ist injektiv und φ₂ ist surjektiv.
b) Es gibt eine Abbildung ψ : U₃ → U_2, so dass φ_{2 °} ψ = id.
c) U₂ ≅ U₁ ⊕ U₃, d.h. U₁ ist isomorph zur direkten Summe U₁ ⊕ U₃.
Sei nun φ : V → V ein beliebiger Endomorphismus auf einem ℝ-Vektorraum V gegeben.
d) Beweisen Sie, dass stets V ≅ Kern φ ⊕ Bild φ gilt. 
Ich wär sehr dankbar für Lösungen, Rechnungen, Lösungsansätze .. ! :-)