Sei V ein Vektorraum: (A)Es existiert eine lineare Abbildung f : V → V deren Kern gleich ihrem Bild ist.

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum.
(A) Es existiert eine lineare Abbildung f : V → V deren Kern gleich ihrem
Bild ist.
(B) Es existiert eine lineare Abbildung f : V → V deren Bild gleich einem
Komplement ihres Kernes ist.
(C) Es existiert eine lineare Abbildung f : V → V deren Bild in ihrem Kern
enthalten ist.

Problem/Ansatz:

(A) ist falsch und die andere sind wahr warum?

Comments

Warum ist A falsch?

Answer 1

Zu (A):

Sei \(V\) der eindimensionale \(K\)-Vektorraum \(K\).
Dann gibt es kein solches \(f\). Warum wohl?

Comments

Bei gerader Dimension gibt es aber eine solche Abbildung wie in (A) beschrieben. Deshalb würde ich die Aufgabe (A) als nicht wohl gestellt betrachten.

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Da gebe ich dir Recht. Ich habe die Aufgabe wohlwollend als

"Es gilt allgemein: Sei V ..." interpretiert und dann ist diese generelle

Aussage falsch.

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Jo,, auf dieses Problem bin ich reingefallen ;-)