Bestimmung der Basis vom Kern und vom Bild der Abbildung

Question

hii

Aufgabe:

Eine lineare Abbildung f_A : R⁶ → R⁴ sei gegeben durch

f_A  \( \begin{pmatrix} x\\y\\z\\a\\b\\c \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 0 & 0 & 16 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 9 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y\\z\\a\\b\\c \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz

Ich muss je eine Basis vom Kern und vom Bild der Abbildung bestimmen.

Answer 1

Umformung mit Gauss gibt bei mir

1 0 3 0 0 8
0 1 2 0 0 1
0 0 0 1 0 5
0 0 0 0 1 4

also sehen die Elemente im Kern so aus :

x6 frei wählbar   x6=s .

mit den letzten beiden Zeilen also x5= -4s und x4=-5s

x3 wieder frei, etwa x3=t und dann mit 2. Gleichung

x2 = -2t - s und mit der ersten

x1 = -3t -8s also so:

( -3t-8s ; -2t-s; t ; -5s ; -4s ; s ) =

t*(-3;-2;1;0;0;0) + s*(-8;-1;0;-5;-4;1)

Also Basis für den Kern ist diue Familie

(-3;-2;1;0;0;0) ,(-8;-1;0;-5;-4;1).

Somit dim(Kern)=2 und damit dim(Bild)=4.

Für eine Basis brauchst du einfach nur 4 linear unabhängige

Spalten der gegebenen Matrix, z.B.

1. und 2. und 4. und 5..