Zeigen Sie, dass Abb. linear ist (komplex) und Kern und Bild bestimmen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten \( \mathbb{C}^{2} \) als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit Basis \( \mathcal{E}: \mathrm{e}_{1}:=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right), \mathrm{e}_{2}:=\left(\begin{array}{l}\mathrm{i} \\ 0\end{array}\right), \mathrm{e}_{3}:=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \), \( \mathrm{e}_{4}:=\left(\begin{array}{l}0 \\ \mathrm{i}\end{array}\right) \). Sei ferner \( \varphi \) die Abbildung \( \varphi: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2}:\left(\begin{array}{l}z_{1} \\ z_{2}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}(2+\mathrm{i}) z_{1} \\ \operatorname{Re}\left(z_{2}\right)-\operatorname{Im}\left(z_{1}\right)\end{array}\right) \).
(a) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) linear ist und bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}(\varphi) \) und \( \operatorname{Bild}(\varphi) \).
(b) Geben Sie \( { }_{\mathcal{E}} \varphi_{\mathcal{E}} \) und \( \operatorname{det}\left({ }_{\mathcal{E}} \varphi_{\mathcal{E}}\right) \) an.

Comments

bei der b) habe ich folgendes Ergebnis. Sieht für mich etwas komisch aus.

EφE = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0& 0 \\ 1 & 2 &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&-1&0&0\end{pmatrix} \)

Entwickelt nach 4.Spalte folgt det=0

Mein Rechenweg:

EφE =(E(φ(\( \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} \)); E(φ(\( \begin{pmatrix} i\\0 \end{pmatrix} \)); E(φ(\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) );E(φ(\( \begin{pmatrix} 0\\i \end{pmatrix} \)) )

erste Spalte:

φ(\( \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} \))=\( \begin{pmatrix} 2+i\\0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 2+i\\0 \end{pmatrix} \) = 2*e1+1*e2+0*e3+0*e4

--> (2,1,0,0)^T

zweite Spalte:

φ(\( \begin{pmatrix} i\\0 \end{pmatrix} \))= \( \begin{pmatrix} -1+2i\\-i \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} -1+2i\\-i \end{pmatrix} \) = -1*e1+2*e2+0*e3+-1*e4

--> (-1,2,0,-1)^T

dritte Spalte:

φ(\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \))=\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) = 0*e1+0*e2+1*e3+0*e4

-->(0,0,1,0)^T

vierte Spalte:

φ(\( \begin{pmatrix} 0\\i \end{pmatrix} \))= \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \) = 0*e1+0*e2+0*e3+0*e4

-->(0,0,0,0)^T

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Ich muss noch den Kern und das Bild der Abbildung bestimmen.

Muss ich das anhand der Matrix aus Teilaufgabe b) lösen; EφE?

Die Reihenfolge der Aufgabenstellung wäre dann komisch.

Ansatz Kern:

LGS

\( \begin{pmatrix} 2& -1&0&0 \\ 1 & 2&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

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Meine Lösung für das LGS ist folgendes:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0&0&0 \\ 0 & 1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

-->

x1=0

x2=0

x3=0

x4=x4

-->

kern(f)={x4*\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1  \end{pmatrix} \)|x4€R}

Muss es x4€R oder x4€C heißen? , wegen dem C^2-Vektorraum

Ist das so korrekt? Wie bestimme ich ein Bild?

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Ich bitte um Korrektur:

Ich habe folgendes für das Bild raus:

B=(\( \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \);\( \begin{pmatrix} -1\\2\\-1\\0 \end{pmatrix} \);\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \))

Rechenweg:

Wegen der Zeilenstufenform ist die Dim(Kern)=1  , weil nur ein Freiheitsgrad vorhanden ist, nämlich x4.

Wegen dem Dim-Satz muss Dim(Bild)=3 sein

Bim(v)=4 , 4=1+3

Dann muss man einfach 3 unabhängige Vektoren von der Ausgangsmatrix wählen. Daran orientiert man sich an der Zeilenstufenform. Also hier die ersten drei Vektoren.

Answer 1

φ(\( \begin{pmatrix} i\\0 \end{pmatrix} \))= \( \begin{pmatrix} -1+2i\\-i \end{pmatrix} \)

stimmt so nicht in der 2. Komponente

\(  \operatorname{Re}\left(z_{2}\right)-\operatorname{Im}\left(z_{1}\right) =0-1 =-1\) nicht -i.

Comments

danke für die Korrektur.

Es würde dann folgende Matrix herauskommen:

\( \begin{pmatrix} 2& -1&0&0 \\ 1 & 2&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \)

Die Determinante bleibt unverändert =0