Die Linearität kannst du ja einfach nach Definition schnell nachrechnen. Für den Kern von \(f\) , musst du ja nun all die Vektoren \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3 \) suchen, sodass
\(f \left (\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \)
gilt. Also musst du diese Gleichheit anschauen (etwas extravaganter hingeschrieben...)
\( \begin{pmatrix}1&0&-2\\0&-1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot x +0\cdot y- 2\cdot z \\ 0\cdot x -1\cdot y+2\cdot z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x - 2z \\ 2z - y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \).
Es bleibt also nur noch ein LGS zu lösen:
\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-2&0\\0&-1&2&0\end{array}\right)\).