Hallo,
Die zu optimierende Funktion ist $$f(x,\,y) = (y+1)^2 + 2(x-2)^2$$mit der Nebenbedingung $$y^3-x^3 + 9 = 0$$Lagrange-Funktion aufstellen ... $$L(x,\,y,\,\lambda) = (y+1)^2 + 2(x-2)^2 + \lambda(y^3-x^3 + 9)$$... und nach \(x\) und \(y\) ableiten$$\frac{\partial L}{\partial x} = 4(x-2) - 3\lambda x^2= 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2(y+1) + 3\lambda y^2= 0$$die erste Gleichung mit \(y^2\) und die zweite mit \(x^2\) multiplizieren und beides addieren$$\begin{aligned} \implies 4(x-2)y^2 + 2(y+1)x^2 &= 0 \\ 2(x-2)y^2 + (y+1)x^2 &= 0 \\ 2xy^2 - 4y^2 + x^2y + x^2 &= 0 \end{aligned} $$gibt zusammen mit der Nebenbedingung zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten \(x\) und \(y\), aber kein(!) LGS (lineares Gleichungssystem).
Das aufzulösen ist müßig! Daher verschaffe man sich mit einem Tool einen Überblick, wie diese Funktionen verlaufen:
und findet eine Lösung bei \((x,\,y) = (2,\,-1)\). Die macht auch Sinn, wenn man bedenkt, dass \(f(x,y)\) ein Paraboloid mit einem Minimum bei \((2,-1)\) ist. Und dieser Punkt erfüllt auch die Nebenbedingung.
Oben sieht man die rote Höhenline von \(f(x,\,y)\) bei \(h=1,4\) und den Verlauf der Nebenbedingung in blau. Klick auf das 'Desmos'-Symbol, dann kannst Du die Höhenlinie verändern. Sie zieht sich bei \(h=0\) in \((2,\,-1)\) zu einem Punkt zusammen.
