Bestimmen Sie mithilfe des Lagrange-Ansatzes die Extrema von f

Question

Aufgabe:

Eine Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch

\( f(x, y, z)=-2 x+y+2 z \text { für alle }(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} . \)

Bestimmen Sie mithilfe des Lagrange-Ansatzes die Extrema von \( f \) auf der Menge \( M= \) \( \left\{v \in \mathbb{R}^{3} \mid\|v\|=2\right\} \).

Answer 1

\( f(x, y, z)=-2 x+y+2 z \text { für alle }(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} . \)

Und die Nebenbedingung ist x^2 + y^2 + z^2 = 4

Also \(  L(x,y,z,\lambda)= -2 x+y+2 z + \lambda ( x^2 + y^2 + z^2 - 4 )\)

Alle partiellen Ableitungen 0 setzen gibt bei mir

\(  \lambda = \pm \frac{3}{4}   \)   Also kritische Punkte \( ( \frac{4}{3}, \frac{-2}{3},  \frac{-4}{3} ) \)  und  \( ( \frac{-4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3} ) \)   .