Aufgabe:
Sei \( \sum^{\infty}_{n=1} a_{n} \) eine Reihe, die konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Sei \( S \in \mathbb{R} \) beliebig. Zeigen Sie, dass es eine bijektive Abbildung \( \sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) gibt, sodass $$ \sum^{\infty}_{n=1} a_{n} = S $$ gilt.
Hinweis:
Dies zeigt, dass man nicht absolut konvergente Reihen nicht einfach umordnen darf. Für die Lösung kann es sinnvoll sein, sich $$a_{k}^{+} := \frac{\mid a_{k} \mid + a_{k} } {2}$$ und $$a_{k}^{-} := \frac{\mid a_{k} \mid - a_{k} } {2}$$ anzuschauen. Zeigen Sie, dass \( \sum_{k}^{+} , \sum_{k}^{-} = \infty \). Betrachten Sie dann jeweils die Teilfolgen, die Sie erhalten, wenn Sie alle Nullen streichen. Summieren Sie dann \( a_{k}^{+} \) so lange, bis Sie über S sind. Ziehen sie dann \( a_{k}^{-} \) so lange, bis Sie unterhalb S sind. Wiederholen Sie dieses Vorgehen.
Problem/Ansatz:
Hallo Leute, oben steht bereits die Aufgabe und trotz vieler Hinweise fällt es mit schwer den Beweis aufzuschreiben. Ich verstehe, dass mir die beiden Teilfolgen praktisch nur die negativen und positiven Teilglieder der Folge liefern, und dass man diese so aufsummieren kann, dass man sich einem Grenzwert S nähert, indem man die "ungewollten" Werte ins Unendliche verschiebt (??). Ich habe es mir ein bisschen wie eine Fourierreihe vorgestellt.
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Syntax :)
