Vertauschen von Grenzwert und Integration: Zeige ∫^1 0 |log(x)|/(1+x) dx = ∑^∞ k=1 (-1)^{k-1}/k^2

Question

Also zu zeigen ist das ∫¹₀ |log(x)|/(1+x) dx = ∑∞_k=1 (-1)^k-1/k²

Man soll die Vertauschung von Grenzwertbildung und Integration rechtfertigen .

Ich habe es mit mit dem Abel'schen grenzwertsatz versucht, ber leider bin jch glaube ich im falschen Weg) wie kann man das lösen?

Comments

Was passiert, wenn du das Integral als Ober oder Untersumme mit Intervallbreiten 1/k ansiehst?  Das sollte eine Summe geben. Vielleicht aber nicht (sofort) ganz die Richtige.  ∫¹₀ |log(x)|/(1+x) dx = ∑∞_n=1 (-1)^k-1/k²
 Ich vermute, dass dein n ein k sein sollte(?)

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Man soll die Aufgabe aber mit Grenzwertvertauschungen lösen ..Ja stimmt da sollte ein k hin

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EDIT: Habe aus dem fraglichen n jetzt ein k gemacht.

"Man soll die Vertauschung von Grenzwertbildung und Integration rechtfertigen ."

Bedeutet mE, dass du irgendwie zeigen sollst, dass die Reihe (Grenzwert einer Teilsummenfolge) und das Integral dasselbe sind. Dazu musst du irgendwie vom Integral zu einer unendlichen Summe oder von der unendlichen Summe zum Integral umformen, bzw. beide auf den gleichen Term bringen.