Extrema mithilfe Lagrange Methode

Question

Hallo wie kann ich die folgende Aufgabe mithilfe der Lagrange-Methode lösen?

f(x,y)=x+y unter der NB= \( \frac{1}{x^2} \)  + \( \frac{1}{y^2} \) =1

--> Ich muss die lokalen und globalen Extrema berechnen... Bitte mit Rechenweg.

Ich bin dankbar für jede Antwort!

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=x+y\quad;\quad g(x;y)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\stackrel!=1$$

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) heißt Lagrange Multiplikator.

$$\operatorname{grad}{f(x;y)}=\lambda\operatorname{grad}{g(x;y)}\implies\binom{1}{1}=\lambda\binom{-\frac{2}{x^3}}{-\frac{2}{y^3}}\implies$$$$-\lambda\frac{2}{x^3}=-\lambda\frac{2}{y^3}\implies x^3=y^3\implies x=y$$Dieses Resultat setzen wir in die Nebenbedingung ein und finden:$$1=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{2}{x^2}\implies x^2=2\implies x=\pm\sqrt2\implies y=\pm\sqrt2$$

Wir haben also zwei Extrema gefunden.$$E_1\left(\sqrt2\,\big|\,\sqrt2\right)\quad;\quad E_2\left(-\sqrt2\,\big|\,-\sqrt2\right)$$

Bei der Art der Extrema hatte ich mich vertan, siehe dazu bitte den Kommentar von Werner, er hat den Bug entdeckt und richtig gestellt ;)

Comments

Wegen der einfachen Form von \(f(x;y)\) ist auch sofort klar, von welchem Typ diese Extrema sind ...

\(f(x,y)\) mag einfach sein, aber die NB sollte man sich noch mal näher anschauen. Richtig ist, dass $$f\left(\sqrt 2,\, \sqrt 2\right) \gt f\left(-\sqrt 2,\, -\sqrt 2\right)$$Trotzdem handelt es sich beim Punkt \((\sqrt 2,\,\sqrt 2)\) um ein lokales Minimum und bei \((-\sqrt 2,\,-\sqrt 2)\) um ein lokales Maximum.

Es schadet nie, sich ein Bild des Szenarios zu machen:

die vier roten Hyperbeläste sind der Graph der NB. Die grüne Gerade steht für das Niveau \(f=2\sqrt2\). Nach rechts oben ist \(f\) stets größer als dieses Niveau. D.h. auf dem Ast rechts oben ist der Punkt \((\sqrt 2,\,\sqrt 2)\) ein Minimum für \(f\).

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Aloha Werner ;)

Danke fürs Aufpassen, das habe ich tatsächlich übersehen.

Ich habe meine Antwort angepasst und auf deinen Kommentar verwiesen.

Ich glaube, ich muss mich doch mal mit den Grafik-Tools beschäftigen.

Stefan

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Ich bedanke mich bei euch beiden!

Ich hätte noch eine Frage dazu: Muss man hier auch die 2. Ableitung bilden, um zu "überprüfen", ob es sich wirklich um Extrempunkte handelt?

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Muss man hier auch die 2. Ableitung bilden, um zu "überprüfen", ob es sich wirklich um Extrempunkte handelt?

2.Ableitung von was genau? Falls Dir die "anschauliche Erklärung" (s. mein Kommentar) nicht ausreicht, wirst Du wohl zur geränderten Hesse-Matrix greifen müssen.

Ist aber in diesem Fall sicher mit Kanonen auf Spatzen geschossen.