Lagrange Methode ohne Ausgangsfunktion?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix \(A= \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \)

und die Menge
\(G=\{v\in \mathbb{R}^2:\space v^T\cdot A\cdot v=1\}\).

Bestimmen Sie die Punkte aus \(G\), die den minimalen und maximalen Abstand zum Koordinatenursprung haben. Nutzen Sie die Lagrange-Methode.

Problem/Ansatz:

Mir fehlt hier der Ansatz. Wie die Lagrange Methode funktioniert, ist mir klar. Wenn ich mir eine Nebenbedingung \(g(x,y)\) aufstelle für \(G\) komme ich auf

\(g(v_1,v_2) = v_1^2+v_1v_2+v_2^2-1= 0\).

Doch um den regulären Fall zu untersuchen, fehlt mir doch hier eine zweite Funktion \(f\)? Da laut regulären Fall gelten muss \(\operatorname{grad}(f) =\lambda\cdot \operatorname{grad}(g)\).

Wie kann ich das hier ohne diese zweite Funktion lösen, bzw. wie kann ich diese aufstellen?

Danke

Answer 1

Hallo

die Hauptfunktion ist  der der Abstand zu 0 . der ja minimiert werden soll.

Gruß lul

Comments

Das hilft mir nicht wirklich. Die Hauptfunktion wäre ja dann doch einfach nur ein beliebiger Vektor?

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nicht der Vektor, sondern der Betrag eines Vektors. Du tust Dich aber leichter, wenn Du das Quadrat nimmst$$x^2+y^2\to\min\lor\max$$

Answer 2

Aloha :)

Der Abstand eines Punktes \(\vec v=\binom{x}{y}\) vom Koordinatenursprung ist$$d(x;y)=\sqrt{x^2+y^2}$$Dieser soll unter der Nebenbedingung, dass der Punkt \(\vec v\) zur Menge \(G\) gehört optimiert werden. Anstatt der Wurzel können wir auch das Quadrat des Abstandes optimieren und reduzieren dadurch unseren Rechenaufwand:$$f(x;y)=x^2+y^2\to\text{Extremum!}$$\(\vec v\) gehört genau dann zu \(G\), wenn gilt:$$1=\vec v^T A\vec v=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x+\frac{y}{2}\\\frac{x}{2}+y\end{pmatrix}=x\left(x+\frac{y}{2}\right)+y\left(\frac{x}{2}+y\right)$$$$1=x^2+xy+y^2$$Die Nebenbedingung zur Optimierung von \(d(x;y)\) bzw. \(f(x;y)\) lautet daher:$$g(x;y)=x^2+xy+y^2\stackrel!=1$$

Nach Langrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradient der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor ist der Lagrange Multiplikator:

$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2x}{2y}=\lambda\binom{2x+y}{x+2y}\implies\frac{2x}{2y}=\frac{\lambda(2x+y)}{\lambda(x+2y)}$$$$\implies2x(x+2y)=2y(2x+y)\implies 2x^2+4xy=4xy+2y^2\implies \underline{\underline{x^2=y^2}}$$

Dieses Ergebnis \(x^2=y^2\) setzen wir in die Nebenbedingung mittels einer Fallunterscheidung ein:

1. Fall: \(x=-y\):$$1=x^2+xy+y^2=x^2-x^2+x^2=x^2\implies x=\pm1\implies y=\mp1$$Wir erhalten zwei Kandidaten für Extrema:$$\underline{\underline{P_1(-1\big|1)\quad;\quad P_2(1\big|-1)}}$$2. Fall: \(x=y\):$$1=x^2+xy+y^2=x^2+x^2+x^2=3x^2\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt3}$$Wir erhalten zwei weitere Kandidaten für Extrema:$$\underline{\underline{P_3\left(-\frac{1}{\sqrt3}\bigg|-\frac{1}{\sqrt3}\right)\quad;\quad P_4\left(\frac{1}{\sqrt3}\bigg|\frac{1}{\sqrt3}\right)}}$$

Durch Einsetzen dieser Kandidaten in \(d(x;y)\) findet man für \(P_1\) und \(P_2\) mit \(\sqrt2\) die Maximalwerte und für \(P_3\) und \(P_4\) mit \(\sqrt{2/3}\) die Minimalwerte.