Lagrange Methode Extremwerte Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Gesucht sind die Extremwerte der Funktion \( f(x, y)=x+2 y \) unter der Bedingung \( x^{2}+y^{2}=5 \).
Lösen Sie die Aufgabe unter Anwendung der Lagrange-Methode.

Problem:

Ich komme hier garnicht weiter da ich noch nie eine Lagrange-Methode durchgeführt habe. Aus videos konnte ich entnehmen das ich als

1) NB = 0 stelle muss

die frage ist muss wenn es

x^2 + y^2 = 5     ist, einfach nur -5 gerechnet werden um

x^2 + y^2 -5 = 0       zu erhalten, oder muss im ersten schritt hier die wurzel gezogen werden um

x + y = \( \sqrt{5} \)             /    -\( \sqrt{5} \)

x+ y - \( \sqrt{5} \) = 0 zu erhalten ?

2) der 2 Schritt wäre ja dann die Lagrange Funktion aufzustellen was ich jetzt nicht kann da ich beim 1. schritt Probleme hatte. Aber an sich wäre dieser schritt, wenn der 1. geklärt worden ist natürlich kein Problem

3) 1. Ableitungen nach jeder varibale gebildet werden, auch kein Problem

4) Extremstellen Kandidaten suchen indem man die alle 3 Ableitungen = 0 setzt

-> Hier ist eine stelle wo ich nicht weiter komme

Wenn man im 1. schritt die folgende neue NB genutzt hätte x^2 + y^2 -5 = 0

hätte man wenn man die anderen beiden Ableitung bereits nach x und y auflöst folgendes

x= -0.5Lambda

y= -1/Lambda

diese 2 müsste mann ja dann bei der NB einsetzen und = 0 setzten

(-0.5Lambda)^2 - ( -1/Lambda)^2  - 5 = 0

und genau hier hätte ich dann auch keine Ahnung mehr ..

Answer 1

Hallo

schrecklich ist was du mit x^2+y^2=5 machst, wenn man daraus die Wurzel zieht gibt es sicher nicht x+y

3^2+4^2=25 aber 3+4≠5

also zu Lagrange

das ist bis dahin richtig, jetzt mit λ^2 multiplizieren  und λ ist leicht zu bestimmen.

Gruß lul

Comments

Sorry ich steh da echt ein bisschen auf dem schlauch wäre lieb wenn du mir da weiterhelfen könntest in dem schritt.

Ich habe also

(-0.5λ)^2 - ( -1/λ)^2  - 5 = 0

was ja wenn ich (-0.5)^2 rechne und λ^2 rechne

\( \frac{1}{4} \)*λ^2    ergibt.

für  ( -1/λ)^2 muss ich ja glaub ich denn Zähler quadrieren und Nenner quadrieren

also

\( \frac{1}{λ^2} \)

somit hätte ich

\( \frac{1}{4} \)*λ^2  - \( \frac{1}{λ^2} \)  - 5 = 0

wie löse ich denn hier weiter auf?

---

Hallo

inzwischen haben andere as für dich ja fertig gerechnet. Aber doch noch zu deinen Fehlern; du bist zu unkonzentriert und machst viele Leichtsinnsfehler

du schubst x=-0,5λ statt x=-0,5/λ dagegen hast du y dann richtig, und mit 1/(4λ^2)+1/λ^2=5 hättest du 1/4+1=5λ^2

Gruß lul

Answer 2

"Gesucht sind die Extremwerte der Funktion \( f(x, y)=x+2 y \) unter der Bedingung \( x^{2}+y^{2}=5 \).Lösen Sie die Aufgabe unter Anwendung der Lagrange-Methode."

\( f(x, y,λ)=x+2 y+λ*(x^{2}+y^{2}-5)  \)

\(\frac{df(x, y,λ)}{dx}=1+2*x*λ  \)

1.)\(1+2*x*λ =0 \)→ 1.) \(λ =-\frac{1}{2x} \) →  in 2.) einsetzen  \(2+2*y*(-\frac{1}{2x})=0 \)

\(\frac{df(x, y,λ)}{dy}=2+2*y*λ \)

2.)\(2+2*y*λ=0 \)

\(\frac{df(x, y,λ)}{dλ}= x^{2}+y^{2}-5 \)

3.)\( x^{2}+y^{2}-5=0 \)

1.) \(λ =-\frac{1}{2x} \) →  in 2.) einsetzen: \(2+2*y*(-\frac{1}{2x})=0 \)

\(2+2*y*(-\frac{1}{2x})=0 |*2x\)

\(4x-2*y=0 \) →\(y=2x \)   in 3.) einsetzen: \( x^{2}+4x^2-5=0 \)→\( x^{2}=1 \)→\( x₁=1 \) oder \( x₂=-1 \)

\( x^{2}=1 \) in 3.) einsetzen :\( 1+y^{2}-5=0 \) →\( y^{2}=4 \) → \( y₁=2 \) oder \( y₂=-2 \)

Answer 3

Sei \(g(x,y)=x^2+y^2-5\).

Gemäß Lagrange:

\(\nabla f=-\lambda \nabla g\).

Dies liefert$$1=-\lambda \cdot 2x\quad(1)\\2=-\lambda \cdot 2y\quad(2)$$

wobei \(x,y,\lambda\neq 0\) sind. Division (2):(1) ergibt:

\(2=y/x\), also \(y=2x\). Einsetzen in \(g(x,y)=0\):

\(5=x^2+y^2=5x^2\Rightarrow x=\pm 1\), also sind

\((1,2),\; (-1,-2)\) die kritischen Punkte.