Lagrange, Extrema unter Nebenbedingungen mit Menge in Ungleichungsform

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion

                            f : D → R, f(x, y) := x² − xy,

definiert auf dem Dreieck

                            D := {(x, y) ∈ R² | −1 ≤ y ≤ 1, −1 − y ≤ x ≤ y + 1}.

(ii) Bestimmen Sie die möglichen Extrema auf dem Rand ∂D der Menge D mit Hilfe der Lagrange-Methode.

Problem/Ansatz:

Hallo!

Ich habe keine Ahnung, wie man aus den gegebenen Ungleichungen die Nebenbedingungen formuliert, um letztendlich die Lagrange-Funktion zu bilden. Ich habe in den letzten Tagen auch keine vergleichbaren Beispiele gefunden, weil offensichtlich alle Beispiele immer einfach gewählt werden und meine mathematischen Fertigkeiten zu wünschen übrig lassen, komme ich auf keine gute Idee.

Meine Gedankengänge bisher:

−1 − y ≤ x ≤ y + 1 könnte umformuliert werden, zu: x=2y+2 oder x=-2y-2,

während sich aus −1 ≤ y ≤ 1 ergeben könnte: y = 1 bzw y = -1

Aber auch das hilft mir nicht weiter. Darum: Hilfe! Kann mir jemand erklären, wie man den Ansatz macht, um auf die Nebenbedingungen zu kommen, die man für die Lagrange-Funktion braucht?

Schon mal Danke für jede Hilfe im Voraus!

Comments

Meine Kurzfassung der Rechnung:Meine

Answer 1

Hallo,

... während sich aus −1 ≤ y ≤ 1 ergeben könnte: y = 1 bzw y = -1

ist nicht falsch, aber so sieht man, dass Du Dir noch keine Zeichnung von dem Dreieck gemacht hast. Dann hättest Du gesehen, dass die Information \(y \ge -1\) redundant ist.

Das Lagrange-Verfahren zielt darauf ab, Punkte gleicher Steigung von Haupt- und Nebenbedingung zu finden. Nehmen wir mal die Grenze $$y \le 1$$am Rand dieser Grenze würde das \(\le\) durch ein \(=\) ersetzt. Und das ist die Nebenbedingung$$\text{NB.:}\space y = 1 \implies y-1 = 0$$Und die zugehörige Lagrange-Funktion ist dann schlicht $$L(x,y,\lambda) = x^2- xy + \lambda(y-1)$$Ableiten, Null-setzen und das \(\lambda\) eliminieren entfällt bereits bei der Ableiting nach \(x\)$$\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial x}&= 2x - y  \to 0\\ \implies y&=2x \land y= 1 \implies \left(\frac12,\,1\right)\end{aligned}$$Der Funktionswert an dieser Stelle beträgt \(f(1/2,\,1) = - 1/4\) und hier das Bild dazu:

https://www.desmos.com/calculator/pbk5c333ap

ein paar Höhenlinen \((\Delta = 0,1)\) habe ich auch eingezeichnet. Und Du kannst so vielleicht schon den zweiten Extrempunkt an der Grenze \(-1-y\le x\) erahnen. Den roten Punkt kannst Du verschieben. Es wird immer der aktuelle Funktionswert angezeigt.

Mit dem Rest solltest Du nun klar kommen. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Für die NB \( y = x-1 \)haben die Lagrange Gleichungen keine Lösung.

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gut erkannt! An diesem Rand gibt es auch kein lokales Extremum.

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Hallo!

Erstmal vielen Dank für die ausführliche und gut erklärte Hilfe. Ich bin leider etwas "verkrampft", wenn es um Ana2 geht und habe zwar das Dreieck gesehen, aber wollte partout die Nebenbedingungen komplett verarbeiten. (Der Tipp mit der Redundanz war der Augenöffner.)


Noch mal: DANKE!

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/$$f(x;y)=x^2-xy\\D\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,-1\le y\le1\;\land\;-(y+1)\le x\le(y+1)\}$$Die Punktmenge \(D\) ist ein Dreieck mit den Eckpunkten \(A(0|-1)\), \(B(2|1)\) und \(C(-2|1)\).

Für die drei Seitenkanten des Dreiecks können wir Geradengleichungen aufstellen und daraus konstante Nebenbedingungen formulieren:$$AB\colon\; y=x-1\quad\land\;x\in[0;2]\quad\;\;\,\implies\quad g_1(x;y)=x-y=1$$$$BC\colon\; y=1\;\;\,\qquad\land\;x\in[-2;2]\quad\implies\quad g_2(x;y)=y=1$$$$CA\colon\; y=-x-1\;\land\;x\in[-2;0]\quad\implies\quad g_3(x;y)=x+y=-1$$

Nach Lagrange gilt für mögliche Extrema, dass der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein muss. Da wir hier drei voneinander getrennte Seiten eines Dreiecks betrachten, können wir für jede Seite eine Lagrange-Bedingung aufstellen:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda_1\operatorname{grad}g_1\;;\;\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda_2\operatorname{grad}g_2\;;\;\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda_3\operatorname{grad}g_3$$$$\binom{2x-y}{-x}=\lambda_1\binom{1}{-1}\quad;\quad\binom{2x-y}{-x}=\lambda_2\binom{0}{1}\quad;\quad\binom{2x-y}{-x}=\lambda_3\binom{1}{1}$$In allen 3 Gleichungen brauchen wir den jeweiligen Lagrange-Multiplikator gar nicht zu kennen. Wichitg ist nur, dass die beiden Gradienten linear abhängig sein müssen. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante mit den Gradienten als Spaltenvektoren verschwindet:$$\left|\begin{array}{rr}2x-y & 1\\-x & -1\end{array}\right|=0\quad;\quad\left|\begin{array}{rr}2x-y & 0\\-x & 1\end{array}\right|=0\quad;\quad\left|\begin{array}{rr}2x-y & 1\\-x & 1\end{array}\right|=0$$$$y-x=0\quad;\quad 2x-y=0\quad;\quad3x-y=0$$$$y=x\quad;\quad y=2x\quad;\quad y=3x$$

Diese Ergebnisse setzen wir nun jeweils in die entsprechende Nebenbedingung ein:$$1=g_1(x;x)=x-x=0\quad\text{Widerspruch, kein kritischer Punkt}$$$$1=g_2(x;2x)=2x\implies x=\frac12\implies K_1\left(\frac12\,\bigg|1\right)$$$$-1=g_3(x;3x)=x+3x=4x\implies x=-\frac14\implies K_2\left(-\frac14\,\bigg|-\frac34\right)$$

Es gibt am Rand des Dreiecks \(D\) also 2 Kandidaten für ein mögliches Extremum.

Comments

Hi!

Auch Danke für die Alternative, die Parametrisierung der Seiten hatte ich auch kurz im Blick, aber verworfen. Ich bin nicht so fit in Mathe, dass ich all diese Möglichkeiten kenne/sehe.

Entsprechend finde ich die Determinantenmethode (habe mich etwas einlesen müssen) natürlich sehr hilfreich.

Auch dafür: DANKE!