Bestimmen Sie die Extrema der Entfernungen von Ursprung unter geeigneten Nebenbedingungen.

Question

es geht um die folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Punkte auf der Ellipse \(2x^2 + xy + 2y^2=5\), die am nächsten zum und die, die am weitesten weg vom Ursprung im \(\mathbb{R}^2\) sind.

Hinweis: Bestimmen Sie die Extrema von \(x^2+y^2\) unter geeigneten Nebenbedingungen.

ich habe soweit: $$\begin{aligned}g(x,y) &= 2x^2+xy+2y^2-5 \\ F(x,y) &= x^2+y^2 \\ L(x,y,\lambda) &= x^2+y^2-  \lambda(2x^2+xy+2y^2-5) \end{aligned}$$ $$\frac{dL}{dx} =2x-\lambda (4x+y) \\ \frac{dL}{dy} =2y-\lambda (4y+x) \\ (3) \frac{dL}{d\lambda } = -(2x^2+xy+2y^2-5) \\$$

$$\lambda  = \frac{2x}{4x+y} = \frac{2y}{4y+x} -> (1) y = \pm x $$

in (3) einsetzen -> \(x = \pm 1 \)

in (1) -> \(y= \pm 1 \)

Wie geht das jetzt weiter?

in der Lösung steht:

Min(1,1) und Min(-1,-1) und Max(\(\pm \sqrt{\frac{5}{3} }, \pm \sqrt{\frac{5}{3} })\)

Wie kommt man nun hier drauf und was heißt das genau? sind das die Schnittstellen von g und F?

mfg

Comments

Schau mal die "alternate forms" an:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E2+%2B+xy+%2B+2y%5E2%3D5

Wenn du weisst, wie die Ellipse im Koordinatensystem liegt, bist du vermutlich einen Schritt weiter.

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sry bringt mich nicht weiter...

ich habe das folgende video gefunden und genau gemacht, was da steht... ich komme aber nicht auf das ergebnis in der musterlösung...

hast du eine anleitung für mich?

mfg

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... habe meine Antwort noch mal erweitert (s.u.)

Answer 1

Hallo Knightfire,

Du hast ja ganz richtig gerechnet:

$$y = \pm x$$

Setzt Du \(y=+x\) in die Nebenbedingung ein, ist das Ergebnis \((1|1)\) und \((-1|-1)\). Setzt Du aber \(y=-x\) ein, so erhältst Du: $$2x^2+x(-x)+2(-x)^2-5 = 0 \quad \Rightarrow x^2 = \frac{5}{3}$$ Daraus folgt $$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac53}$$ Bzw. für die Koordinaten: \(\displaystyle \left( -\sqrt{\frac53}; +\sqrt{\frac53}\right)\) und \(\displaystyle \left( +\sqrt{\frac53}; -\sqrt{\frac53}\right)\)

... und was heißt das genau? sind das die Schnittstellen von g und F?

Nein - die gefundenen Koordinaten sind die Punkte, die am nächsten (die grünen) bzw. am weitesten (die roten) vom Ursprung \(O\) entfernt sind.
 
Die gestrichelten Kreise sind alle Orte mit einem gemeinsamen Wert von \(F\). Die Ellipse ist der Graph von \(g\). Mit der Nebenbedingung, dass die Punkte auf \(g\) liegen müssen, hast Du die Orte mit dem größten bzw. kleinsten Wert für \(F\) gesucht. \(F_1\) und \(F_2\) sind die Brennpunkte der Ellipse, die spielen hier aber keinen Rolle.

Comments

wo setze ich y= +x ein? in 2x^2+xy+2y^2-5=0? wie soll da (1|1) und (-1|-1) kommen? aber in y = x eingesetzt kommt da für y das raus. x = 1 kommt y = 1 und bei x= -1 kommt y = -1.. das verstehe ich...

der 2. schritt mit y =-x in 2x^2+xy+2y^2-5=0 ist mir klar und dann kommt eben \(x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac53}\) raus und da in < = -x eingesetz erhalten wir:

\(\displaystyle \left( -\sqrt{\frac53}, +\sqrt{\frac53}\right)\) und \(\displaystyle \left( +\sqrt{\frac53}, -\sqrt{\frac53}\right)\)

Ok woher weiß ich nun welche davon minimalen Abstand und welche Maximalen Abstand haben? EDIT: ah ok das ist ja logisch, die liegen ja auf g. also die mit den koordinaten weiter weg vom ursprung sind eben die mit größerem abstand.

mfg

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wo setze ich y= +x ein? in 2x^2+xy+2y^2-5=0? wie soll da (1|1) und (-1|-1) kommen?

Nun, da ist die Nebenbedingung $$2x^2+xy+2y^2-5=0$$ Setze nun für \(y\) das \(+x\) aus \(y=+x\) ein - also $$\begin{aligned}2x^2+x(\colorbox{#ffff00}{+x})+2(\colorbox{#ffff00}{+x})^2-5 &=0 \\ 2x^2 + x^2 +2x^2 - 5&= 0 \\ 5x^2 &= 5 \\ x^2&= 1\end{aligned}$$ Sind für \(x\) in diesem Fall zwei Lösungen \(x_1=+1\) und \(x_2=-1\). Das zugehörige \(y\) folgt aus der Anfangsbedingung \(y=x\) (s.o.). D.h. $$\begin{aligned}(x_1|y_1) &= (+1|+1) \\ (x_2|y_2) & = (-1|-1)\end{aligned}$$

So - und exakt dasselbe mache jetzt für \(y=-x\)

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Ok woher weiß ich nun welche davon minimalen Abstand und welche Maximalen Abstand haben?

Setzte die Koordinaten in \(F\) ein, und schaue nach, was den größeren und was den kleineren Wert (Abstand von \(O\)) ergibt - das ist alles.  Ein Skizze der Ellipse ist in jedem Fall hilfreich!

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ok habs verstanden... vielen dank! :)

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Hallo Werner,

" eigentlich " bräuchte man
2*x^2 + x*y + 2*y^2 = 5
nur die die Mitte eines Koordinantenkreuzes
zu bringen und in die Form
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
zu überführen.
Das wäre es dann schon gewesen.
Min und max Abstand = a und b.

Was hat die revolutionäre Anordnung
der Solarmodule ergeben ?

Answer 2

Die Aufgabe läßt sich mit vertretbarem Zeit- und
Arbeitsaufwand wohl nur mit einem Matheprogramm
abarbeiten.

 

Bin gern weiter behilflich.

Comments

t1 = Ausgangsterm
umstellen nach y bzw. dem Funktionswert
( hier gibt es zwei,
rot und blau bzw. f1 und f2
Der Abstand eines Punktes auf der Ellipse
zum Mittelpunkt ist nach Pythagoras
√ ( x^2 + y^2 )
a1 = Abstand1 = für y wurde f1 eingesetzt
1.Ableitung bilden und für den Extremwert gleich
null setzen
Ergebnisse

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

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" eigentlich " bräuchte man
2*x2 + x*y + 2*y2 = 5
nur die die Mitte eines Koordinantenkreuzes
zu bringen und in die Form
x2/a2 + y2/b2 = 1
zu überführen.

D.h. man müsste die Ellipse um den Ursprung drehen und dann das Resultat zurückdrehen.

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" eigentlich " bräuchte man
2*x2 + x*y + 2*y2 = 5
nur die die Mitte eines Koordinantenkreuzes zu bringen ...

natürlich - das wäre dann eine Hauptachsentransformation. Die ist aber deutlich aufwendiger als eine Optimierung nach Lagrange. Zumal hier auch ein gemischtes Glied \(xy\) vorliegt.

Was hat die revolutionäre Anordnung der Solarmodule ergeben?

Ist noch in Arbeit ;-)

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... der einfachste Weg zur Lösung besteht IMHO darin, die Ellipse zu skizzieren und das Ergebnis aus der Zeichnung abzulesen. Da hier \(x\) und \(y\) symmetrisch bezüglich ihrer Vorzeichen und ihrer selbst sind, ist das kein Problem.