Bestimmen Sie die Extrema der Entfernungen von Ursprung unter geeigneten Nebenbedingungen.

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es geht um die folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Punkte auf der Ellipse $2x^2 + xy + 2y^2=5$, die am nächsten zum und die, die am weitesten weg vom Ursprung im $\mathbb{R}^2$ sind.

Hinweis: Bestimmen Sie die Extrema von $x^2+y^2$ unter geeigneten Nebenbedingungen.

ich habe soweit: $$\begin{aligned}g(x,y) &= 2x^2+xy+2y^2-5 \\ F(x,y) &= x^2+y^2 \\ L(x,y,\lambda) &= x^2+y^2- \lambda(2x^2+xy+2y^2-5) \end{aligned}$$ $$\frac{dL}{dx} =2x-\lambda (4x+y) \\ \frac{dL}{dy} =2y-\lambda (4y+x) \\ (3) \frac{dL}{d\lambda } = -(2x^2+xy+2y^2-5) \\$$

$$\lambda = \frac{2x}{4x+y} = \frac{2y}{4y+x} -> (1) y = \pm x $$

in (3) einsetzen -> $x = \pm 1 $

in (1) -> $y= \pm 1 $

Wie geht das jetzt weiter?

in der Lösung steht:

Min(1,1) und Min(-1,-1) und Max($\pm \sqrt{\frac{5}{3} }, \pm \sqrt{\frac{5}{3} })$

Wie kommt man nun hier drauf und was heißt das genau? sind das die Schnittstellen von g und F?

mfg

Gefragt 14 Aug 2018 von Knightfire66

📘 Siehe "Extrema" im Wiki

2 Antworten

Beste Antwort

Hallo Knightfire,

Du hast ja ganz richtig gerechnet:

$$y = \pm x$$

Setzt Du $y=+x$ in die Nebenbedingung ein, ist das Ergebnis $(1|1)$ und $(-1|-1)$. Setzt Du aber $y=-x$ ein, so erhältst Du: $$2x^2+x(-x)+2(-x)^2-5 = 0 \quad \Rightarrow x^2 = \frac{5}{3}$$ Daraus folgt $$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac53}$$ Bzw. für die Koordinaten: $\displaystyle \left( -\sqrt{\frac53}; +\sqrt{\frac53}\right)$ und $\displaystyle \left( +\sqrt{\frac53}; -\sqrt{\frac53}\right)$

... und was heißt das genau? sind das die Schnittstellen von g und F?

Nein - die gefundenen Koordinaten sind die Punkte, die am nächsten (die grünen) bzw. am weitesten (die roten) vom Ursprung $O$ entfernt sind.

Die gestrichelten Kreise sind alle Orte mit einem gemeinsamen Wert von $F$. Die Ellipse ist der Graph von $g$. Mit der Nebenbedingung, dass die Punkte auf $g$ liegen müssen, hast Du die Orte mit dem größten bzw. kleinsten Wert für $F$ gesucht. $F_1$ und $F_2$ sind die Brennpunkte der Ellipse, die spielen hier aber keinen Rolle.