Genau. Die Lagrange-Funktion lautet:
L = x^(1/2) + 2·y^(1/2) + k·(m - x·p - y·q)
Ich habe mal x und y statt x1 und x2 verwendet. und auch p und q sind praktikabler als p1 und p2.
Nun bildet man die partiellen Ableitungen und setzt diese gleich Null
L'x = 1/2·x^(-1/2) - k·p = 0
L'y = y^(-1/2) - k·q = 0
Die dritte Bedingung bleibt ja deine Nebenbedingung
m - x·p - y·q = 0
Das ergibt jetzt ein Gleichungssystem mit den Variablen x,y und k und den restlichen Buchstaben als Parameter. Das kannst du jetzt lösen.
Wenn ich das nur mal einem Online-Rechner zum Frass vorwerfe spuckt der mir aus
x = m·q / (4·p^2 + p·q)
Das wäre wenn ich das richtig eingegeben habe die Nachfragefunktion für Gut 1.