Mithilfe des Lagrange-Ansatzes die Nachfragefunktion aus einer Nutzenfunktion errechnen?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Nutzenfunktion u(x1,x2) = x1^1/2 + 2x2^1/2. Berechnen Sie mit Hilfe des Lagrange Ansatzes die Nachfragefunktionen für Gut 1 und Gut 2.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe insofern nicht, da ich den Lagrange-Ansatz nur zur Berechnung einer Nutzenmaximierung kenne, für die auch eine Nebenbedingung notwendig ist.

In dieser Aufgabenstellung gibt es nicht mal eine Nebenbedingung. Wie errechnet man die Nachfragefunktion aus einer Nutzenfunktion mit Hilfe des Lagrangeansatzes?

Comments

Du müsstest das hier wohl recht allgemein machen. Du hast ja ein Kapital K zur Anschaffung der Güter mit den Preisen p1 und p2.

Die Funktion sollte die Nachfrage in Abhängigkeit von K, p1 und p2 angeben.

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Ja, normal hätte ich das Budget und die Preise beider Güter angegeben. Die Informationen sind in dieser Aufgabe nur nicht gegeben.

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Du sollst ja auch eine Funktion angeben und nicht das konkrete Güterbündel.

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Und wie gehe ich dazu vor?

Answer 1

Eigentich exakt so als wenn die Sachen gegeben sind.

Denk dir also zunächst ein paar Sachen aus und berechne es mit Zahlen. Lasse diese Zahlen dabei möglichst stehen und rechne sie nicht mit anderen Zahlen zusammen. Danach machst du das mit Buchstaben. Dabei ersetzt du die Zahlen quasi nur durch Buchstaben.

Comments

Also die Nebenbedingung wäre in diesem Fall m - x1*p1 - x2*p2 ?

L = x₁^1/2 2x₂^1/2 + λ (m - x₁*p₁ - x₂ * p₂)

Nur wie soll ich diese Funktion denn partiell ableiten bzw. ein Gleichungssystem aufbauen, es sind ja ausschließlich Variablen vorhanden. Oder ich habe einfach den Durchblick bei dieser Aufgabe verloren.

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Genau. Die Lagrange-Funktion lautet:

L = x^(1/2) + 2·y^(1/2) + k·(m - x·p - y·q)

Ich habe mal x und y statt x1 und x2 verwendet. und auch p und q sind praktikabler als p1 und p2.

Nun bildet man die partiellen Ableitungen und setzt diese gleich Null

L'x = 1/2·x^(-1/2) - k·p = 0

L'y = y^(-1/2) - k·q = 0

Die dritte Bedingung bleibt ja deine Nebenbedingung

m - x·p - y·q = 0

Das ergibt jetzt ein Gleichungssystem mit den Variablen x,y und k und den restlichen Buchstaben als Parameter. Das kannst du jetzt lösen.

Wenn ich das nur mal einem Online-Rechner zum Frass vorwerfe spuckt der mir aus

x = m·q / (4·p^2 + p·q)

Das wäre wenn ich das richtig eingegeben habe die Nachfragefunktion für Gut 1.

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Wie leitet man man eine Lagrange-Funktion noch mal ab? Also wenn wir nach x1 ableiten, wird x1 abgeleitet und x2 konstant gelassen. Wie geht man bei dem zweiten teil, also λ * (Nebenbedingung) vor?

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L = x^(1/2) + 2·y^(1/2) + k·(m - x·p - y·q)

Wenn du nach x ableitest betrachtest du jeden anderen Buchstaben als sei er eine Zahl. Achte darauf das alle konstanten Summanden zu Null abgeleitet werden.

Schnapp dir ein Tool wie Photomath, was dir hilft einen Term Step bei Step abzuleiten.

L'x = 1/2·x^(-1/2) + 0 + k·(0 - p - 0)

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Wenn ich das weiter rechne kommt eine ziemlich komplexe Definition für x2 raus:

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Ich glaube ich muss x1 am Ende nicht in 3 sondern in 4 einsetzen oder?