Lagrange Aufgabe mit zwei Nebenbedingungen

Question

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

K(x,y,z) = 2x^2 + y^2 - 2xz + 3z , 1. NB:  x-y+z = 2 , 2. NB: x+y-z = 4. Ich soll diese minimieren.

meine Lagrangefunktion lautet dann:

L(x,y,z,λ,τ) = 2x^2 + y^2 - 2xz + 3z + λ(2-x+y-z) + τ ( 4-x-y+z)

Lx = 4x-2z-λ-τ=0 (1)

Ly= 2y + λ -τ = 0 (2)

Lz = -2x+3-λ+τ=0 (3)

Lλ=2-x+y-z=0 (4)

Lτ=4-x-y+z=0 (5)

Wie löse ich das jetzt weiter. Ich habe mal (3) + (2) gemacht und erhalte dann y= -(3/2)+x. Wie soll ich am besten weitermachen?

Comments

Ich habe mal (3) + (2) gemacht und erhalte dann y= -(3/2)+x.

Ich erhalte das nicht.

Wie soll ich am besten weitermachen?

Löse das Gleichungssystem (1) bis (5).

lambda = 4, tau = 7

Nachtrag:

Ich sehe gerade, die Frage ist uralt und nach oben gekommen, weil heute ein anderer Benutzer eine Antwort geschrieben hat.

Answer 1

schau mal hier im Kommentar

https://www.mathelounge.de/541514/lagrange-aufgabe-mit-nebenbedigungen-2x-2xy-3z-minimieren

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wenn Lagrange nicht verlangt ist:

\(K(x,y,z) = 2x^2 + y^2 - 2xz + 3z \),  soll minimal werden.

1. NB: \(x-y+z = 2\)  mit \(x=\red{3}\):  \(3-y+z = 2\)  \(z =y-1 \)

2. NB: \(x+y-z = 4\) →  \(y = 4-x+z\)  in  1. NB:

\(x-(4-x+z)+z = 2\)  → \(x=\red{3}\)

\(K(y,z) =18 + y^2 - 3z \)

\(K(y) =24+ y^2 - 3y \)

\(K_y(y) = 2y - 3 \)      \( 2y - 3=0  \)    \( y=1,5  \)   \(z =1,5-1=0,5 \)

Answer 3

Das lineare Gleichungssystem hast du richtig

4x - 2z - λ - τ = 0
2y + λ - τ = 0
-2x + 3 - λ + τ = 0
2 - x + y - z = 0
4 - x - y + z = 0

Das lässt sich standardmäßig über Gauss- (alias Additionsverfahren) lösen.

Ich erhalte die Lösung: x = 3 ∧ y = 1.5 ∧ z = 0.5 ∧ λ = 4 ∧ τ = 7

III + II ; V + IV

-2x + 2y + 3 = 0 --> y = x - 1.5 = 3 - 1.5 = 1.5
6 - 2x = 0 --> x = 3

2 - x + y - z = 0 → 2 - 3 + 1.5 - z = 0 --> z = 0.5

II + I

2y + λ - τ + 4x - 2z - λ - τ = 0 --> 4x + 2y - 2z - 2τ = 0 --> 4·3 + 2·1.5 - 2·0.5 - 2τ = 0 --> τ = 7

2y + λ - τ = 0 --> 2·1.5 + λ - 7 = 0 --> λ = 4