Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir sollen die Funktion:$$g(x;y;z)=x^2+y^2-z^2$$unter zwei konstanten Nebenbedingungen optimieren:$$h(x;y;z)=x^2+y^2+z^2=1\quad;\quad j(x;y;z)=x+y+z=0$$
Der reine Lagrange-Formalismus zur Bestimmung von Extrema unter Nebenbedingungen ist zwar leicht zu merken, aber in der praktischen Rechnung leider oft sehr umständlich. Hier ist nicht gefordert, über die Lagrange-Formalismus zu gehen, sonden über die Lagrange-Multiplikatoren.
Die Kernaussage von Lagrange ist, dass in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein muss. Die Gewichtungen der Gradienten innerhalb der Linearkombination sind die Lagrange-Multiplikatioren.$$\operatorname{grad}g(x;y;z)=\lambda_1\cdot\operatorname{grad}h(x;y;z)+\lambda_2\cdot\operatorname{grad}j(x;y;z)\quad\implies$$$$\left(\begin{array}{r}2x\\2y\\-2z\end{array}\right)=\lambda_1\left(\begin{array}{r}2x\\2y\\2z\end{array}\right)+\lambda_2\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)$$
Jetzt können wir die Lagrange-Multiplikatoren als Unbekannte aus unserer Rechnung sehr elegant loswerden. Da die drei Gradienten linear abhängig sein müssen, können sie kein 3-dimensionales Volumen aufspannen, d.h. ihre Determinante muss verschwinden:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}2x & 2x & 1\\2y & 2y & 1\\-2z & 2z & 1\end{array}\right|\stackrel{(S_1-=S_2)}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 2x & 1\\0 & 2y & 1\\-4z & 2z & 1\end{array}\right|=-4z(2x-2y)=-8z(x-y)\quad\implies$$$$\underline{\underline{z=0}}\quad\lor\quad\underline{\underline{x=y}}$$
Wir haben also zwei mögliche Lagrange-Bedingungen für die Extrema gefunden. Wir führen daher eine Fallunterscheidung durch und setzen die jeweilige Lagrange-Bedingung in die beiden Nebenbedingungen ein.
1. Fall:\(\quad z=0\)$$0=j(x;y;0)=x+y\implies y=-x$$$$1=h(x;y;0)=x^2+y^2=x^2+(-x)^2=2x^2\implies x^2=\frac12\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$Dieser Fall liefert uns also zwei Kandidaten:$$K_1\left(\frac{1}{\sqrt2}\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|+\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\right)$$
2. Fall:\(\quad x=y\)$$0=j(x;x;z)=2x+z\implies z=-2x$$$$1=h(x;x;z)=2x^2+z^2=2x^2+(-2x)^2=6x^2\implies x^2=\frac16\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$$Dieser Fall liefert uns zwei weitere Kandidaten:$$K_3\left(\frac{1}{\sqrt6}\bigg|\frac{1}{\sqrt6}\bigg|-\frac{2}{\sqrt6}\right)\quad;\quad K_4\left(-\frac{1}{\sqrt6}\bigg|-\frac{1}{\sqrt6}\bigg|\frac{2}{\sqrt6}\right)$$
