Beweis zu Vektor in einer linearen Hülle

Question

ich stehe grade ziemlich auf dem Schlauch und bräuchte Hilfe.

Die Aufgabe lautet:

$$L = \{w_1, w_2, ..., w_n\} \text{ und L ist ein UVR des }\mathbb{R}^3 $$
Soweit so gut; nun soll ich beweisen, dass gilt:
$$w_x \in \langle L \text{ \\ } \{w_x\} \rangle_\mathbb{R} \leftrightarrow \langle L \text{ \\ } \{w_x\} \rangle_\mathbb{R} = \langle L \rangle_\mathbb{R} \\ $$

Also auf gut deutsch, irgendein Vektor w liegt genau dann innerhalb der linearen Hülle von L ohne den Vektor w, wenn die lineare Hülle von L ohne w genau die lineare Hülle von L ist?
Es hat bei mir noch nicht Klick gemacht und ich weiß grad nichtmal so recht was hier überhaupt die Aussage ausdrückt, die ich letztlich beweisen soll...
Bin um jeden Tipp sehr dankbar!

Answer 1

$$w_x \in \langle L \text{ \\ } \{w_x\} \rangle_\mathbb{R} $$

heißt doch: w_x ist eine Linearkombination der anderen Elemente von L. #

Ist nun v eine Linearkombination der

Elemente von L , dann kann ich darin das w_x durch die in # genannte

 Linearkombination ersetzen und erhalte so für v eine Linearkombination

von Elementen aus L \ {w_x}.  Damit gilt

$$ \langle L \text{ \\ } \{w_x\} \rangle_\mathbb{R} ⊇ \langle L \rangle_\mathbb{R} \\$$

Die andere Inklusion ist ja klar, also sind die Mengen gleich.

Sind umgekehrt die beiden linearen Hüllen gleich, dann muss

ja w_x , weil es als Linearkombination der Elemente von L

(alle Koeffizienten 0 nur bei w_x eine 1 ) darstellbar ist, auch in

$$ \langle L \text{ \\ } \{w_x\} \rangle_\mathbb{R} $$ sein. q.e.d.

Comments

Erstmal vielen Dank! Könntest du mir bitte noch sagen, woher dein "v" kommt? Ist es einfach ein beliebiger Vektor oder muss v auch aus L stammen?

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Das v soll ein Element der linearen Hülle von L.

Und dann wird ja gezeigt: Dann ist es auch ein

Element der linearen Hülle von L ohne w_x .