Wie beweise ich die Äquivalenz w = 0 ⇔ v ∈ span(v_(1),...v_(r))?

Question

Beweisen Sie die Äquivalenz in Satz \( 3.25 \) der Vorlesung (bzw. im Skript):

Es sei \( V \) ein euklidischer Vektorraum, \( \left\{v_{1} \ldots v_{r}\right\} \) ein Orthogonalsystem und \( v \in V \) ein beliebiger Vektor. Dann gilt für \( \boldsymbol{w}:=v-\sum \limits_{j=1}^{r}\left\langle\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}_{j}\right\rangle \cdot v_{j} \)

\( w=0 \Longleftrightarrow v \in \operatorname{span}\left(v_{1}, \ldots v_{r}\right) \)

Answer 1

erste Richtung:
sei w=0  dann gilt  v - summe...    = 0
                            also v = summe...
Und diese Summe ist doch eine Linearkombi. der v_j,
also ist v aus dem Span.
zweite Richtung.
sei v aus dem Span, dann ist v als Lin.komb. der vj darstellbar.
da die vj ein Orth.syst. bilden, sind sie lin. unabhängig und
bilden also eine Basis von Span(v1,...vr).
Da jeder Vektor eindeutig durch die Vektoren einer Basis darstellbar
ist, ist die Summe eben genau diese Darstellung und damit
v -  Summe = 0, also w=0.