Integration. Funktion durch einzelne Informationen ermitteln

Question

könnte mir hier bitte jemand helfen? Wir schreiben morgen eine Arbeit über Integralrechnung und so eine Aufgabe kommt da auch mit drann, welche ich aber überhaupt nicht verstehe...

Ermitteln Sie die ganzrationale Funktion 3. Grades, die symmetrisch zum Ursprung ist, durch den Punkt N(2|0) verläuft und mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten den Flächeninhalt A = 2FE einschließt.

Danke

EDIT(Lu). m in symmetrisch ergänzt.

Answer 1

eine ganzrationale Funktion 3. Grades sieht immer so aus:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Du musst also die 4 Koeffizienten a,b,c,und d bestimmen. Dafür benötigst Du 4 Informationen, die Du jeweils als Gleichung darstellen kannst. Damit hast DU dann ein Gleichungssystem, das Du lösen musst.

1. Info: "symmetrisch zum Ursprung" heißt -f(x)=f(-x) also

-(ax^3+bx^2+cx+d)=-ax^3+bx^2-cx+d -> -2bx^2 -2d = 0    als erste Gleichung

2. Info: "geht durch Punkt N [2;0]"

also f(2)= a*8+b*4+c*2 +d=0 als zweite Gleichung

3. Wir gehen davon aus, dass im ersten Quadranten nur eine Fläche vollständig umschlossen wird, d.h. es f(x) hat eine positive Nullstelle x_N.  x_N ist uns ja aber schon mit Punkt N gegeben! Die Fläche wird dann beschrieben durch das Integral von f(x) im Intervall 0 bis 2 also

F(2)-F(0) = 2 das wird zu

a*4 + b*8/3 + c*2+d*2 = 2

4. Die vierte Information ist indirekt mit der Symmetrie verbunden. Denn damit wird bei Funktionen 3. Grades auch gesagt, dass Sie die Y-Achse bei 0 schneiden, damit ist die 4. Gleichung:

d=0

damit hast Du 4 Gleichungen, das System kannst DU nun mit den entsprechenden Verfahren lösen.

Answer 2

Ermitteln Sie die ganzrationale Funktion 3. Grades, die symmetrisch zum Ursprung ist, durch den Punkt N(2|0) verläuft und mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten den Flächeninhalt A = 2FE einschließt.

Ansatz. f(x) = ax^3 + bx      | Symmetrie.    
 f(2) = 0. ==> 0 = 8a + 2b ==> b = -4a    
 f(x) = ax^3 - 4ax    
Nun noch die Fläche.    
 2 = ∫_(0)^{2} ax^3 - 4ax dx     |:a, da a≠0.    
 
 2/a = ∫_(0)^{2} x^3 - 4x dx.    
 
 Nun rechts das bestimmte Integral ausrechnen. Aus der entstehenden Gleichung kannst du dann a ermitteln.

Comments

Integral soll von 0 bis 2 gehen. Der Editor wandelt das ^ Caret leider nicht um. 

Answer 3

.
"

so eine Aufgabe kommt da auch mit drann,

welche ich aber überhaupt nicht verstehe..."

wo ist dein Problem?

-> kannst du die Aufgabe nicht lesen?

-> oder weisst du nicht , wie man das Bild einer solchen Parabel dritten Grades zeichnet?

-> oder verstehst du nicht, wieso symmetrisch da nur mit einem m geschrieben ist ?

-> oder ...?

also: -> was hast du bisher selbst überlegt ?

->......

.

Comments

@ Gast bh885:

Wo ist DEIN Problem?

Hast Du das Wesen eines solchen Forums nicht verstanden?

Hast Du Probleme bei der Registrierung?

Hast Du vergessen, dass mit "Parabel" nur die Graphen ganzrationaler Funktionen 2. Grades bezeichnet werden? 

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@bh885
Du solltest nicht deine Meinung  zum Forum als für alle verbindlich
erklären.

JEDERMANN kann hier Mathefragen stellen.
Und JEDERMANN kann diese beantworten.

Der Beantworter kann dies in Stil und Art und Weise tun wie es ihm
beliebt.

Falls ein Fragender nur Denkanstöße haben will und
sich die Frage lieber in Dialogform  erarbeiten will kann er das in
die Frage ja reinschreiben.

---

"Hast Du das Wesen eines solchen Forums nicht verstanden?"

so wie du es bei  deiner unten präsentierten "verunglückten" Antwort vorführst?

na ja, so kommt der Fragesteller vielleicht noch selbst zum Nachdenken über den gebauten Mist. 

Tipp: schau oben bei Lu nach - wie man bei punktsymmetrischen Parabeln vorgeht...

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@ Gast bh885 

Wenn Du Dir die Zeit nimmst und meine Ausführung mit jenen von Lu vergleichst, wirst Du bestimmt bald einsehen, dass sie, die Ausführlichkeit beiseite gelassen, inhaltlich dann doch identisch sind. Für Deine weiteren Überlegungen hierzu erlaube ich mir an dieser Stelle einen Verweis auf den Kommentar von georgborn. 

Was das Thema "Parabeln" angeht, verweise ich auf den Mathematikunterricht der 9. Klasse (zumindest an Gymnasien). Dort erfährt man u.A., dass "Parabeln" in aller Regel Brennpunkte ausbilden, was, das siehst Du sicher binnen Nanosekunden ein, einem Graphen einer Funktion 3. Grades eher nicht möglich ist. 

Deine im Verzeihen geäußerte Nachsicht bringst Du dann doch besser Dir selbst gegenüber zum Ausdruck.

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IP von Gast bh885 gesperrt und die meisten seiner nicht-sachlichen Beiträge gelöscht.

@alle: Bitte zukünftig solche Trolls melden, indem ihr auf den Button "Melden" klickt. Danke