der graph einer funktion 3. grades hat im koordinatenursprung P ( 0/0) einen Wendepunkt
Nun, der Graph einer jeden Funktion dritten Grades hat genau einen Wendepunkt und ist punktsymmetrisch zu diesem.
Liegt der Wendepunkt, wie in der vorliegenden Aufgabenstellung, im Ursprung, dann ist der Graph also punktsymmetrisch zum Ursprung und das bedeutet, dass für die Funktion f gilt::
f ( x ) = - f ( - x )
Setzt man hier die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades
f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d
ein, so erhält man:
a x 3 + b x 2 + c x + d = - ( a ( - x ) 3 + b ( - x ) 2 + c ( - x ) + d )
<=> a x 3 + b x 2 + c x + d = - ( - a x 3 + b x 2 - c x + d )
<=> a x 3 + b x 2 + c x + d = a x 3 - b x 2 + c x - d
Diese Gleichung ist nur dann allgemeingültig, wenn die Koeffizienten aller gleichen Potenzen übereinstimmen, wenn also gilt:
a = a
b = - b => b = 0
c = c
d = - d => d = 0
Bei einer Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, sind also die Koeffizienten b und d der allgemeinen Form gleich Null. Daher lautet die allgemeine Form einer solchen Funktion:
f ( x ) = a x 3 + c x
Allgemein gilt für jede Polynomfunktion beliebigen Grades:
Ist der Graph einer Polynomfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung, dann haben in ihrer Funktionsgleichung die Koeffizienten aller Potenzen mit geradzahligen Exponenten den Wert Null.
Aufgrund dieser Erkenntnis hat Der_Mathecoach in seiner Antwort sofort den allgemeinen Funktionsterm
f ( x ) = a x 3 + b x
für die gesuchte Funktion hinschreiben dürfen (wobei er b statt c geschrieben hat).
Die gesuchte Funktion f hängt also nur von den beiden Parametern a und b ab, das heißt, es genügen zwei weitere Informationen über die Funktion, um die Werte dieser Parameter zu bestimmen. Diese Informationen sind in dem Satz
Außerdem hat er im Punkt Q (2/-4) den Anstieg 2.
der Aufgabenstellung enthalten:
1) Der Punkt ( 2 | - 4 ) liegt auf dem Graphen von f, muss also dessen Funktionsgleichung erfüllen. Es muss also gelten:
f ( 2 ) = - 4
also :
a * 2 3 + b * 2 = - 4
<=> 8 a + 2 b = - 4
2) Der Graph hat dort den Anstieg 2, das heißt, die Ableitung von f an der Stelle x = 2 hat den Wert 2, also:
f ' ( 2 ) = 2
Die Ableitung von f ( x ) ist f ' ( x ) = 3 a x 2 + b also muss gelten:
3 a * 2 2 + b = 2
<=> 12 a + b = 2
Die Lösung des Gleichungssystems aus den beiden fett gesetzten Gleichungen liefert die Werte der Parameter a und b. Es ergibt sich:
a = 0,5
b = - 4
Diese Werte setzt man nun in die allgmeine Funktionsgleichung
f ( x ) = a x 3 + b x
einer zum Ursprung punktsymmetrischen Polynomfunktion dritten Grades ein und erhält so die gesuchte Funktionsgleichung
f ( x ) = 0,5 x 3 - 4 x
