Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Ursprung und im Punkt \(P(2|4)\) jeweils ein Extremum hat.
\(f(x)=ax^2(x-N)\)
\(P(2|4)\):
\(f(2)=4a(2-N)=4\) → \(a=\frac{1}{2-N}\)
Extremwerteigenschaft:
\(f(x)=\frac{1}{2-N}[x^2(x-N)]\)
\(f´(x)=\frac{1}{2-N}[2x(x-N)+x^2]\)
\(f´(2)=\frac{1}{2-N}[2*2(2-N)+2^2]=\frac{1}{2-N}[12-4N]=\frac{4}{2-N}[3-N]=0\)→\(N=3\) \(a=-1\)
\(f(x)=-x^2(x-3)\)