rekonstruktion einer ganzratiolen funktion dritten grades mit extrema in ursprung und (2|4).

Question

Ich muss die folgende Problemstellung bearbeiten: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Ursprung und im Punkt P(2|4) jeweils ein Extremum hat. 

Das Thema ist neu und ich komme (nach mehreren Anläufen) nicht weiter. Kann mir jemand bitte erklären,wie ich vorzugehen habe? 

für jede Antwort! :)

Answer 1

f(x) = ax³ + bx² + cx +d

f(0) = 0 

f'(0) = 0

Daraus ergibt sich c=0, d=0

f(x) = ax³ + bx²

f'(x) = 3ax² + 2bx

f'(2)=0

f(2) = 4

f'(2) = f(2) -4

12a +4b = 8a + 4b - 4

a = -1

b=3

f(x) = -x³ + 3x²

Answer 2

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Ursprung und im Punkt \(P(2|4)\) jeweils ein Extremum hat.

\(f(x)=ax^2(x-N)\)

\(P(2|4)\):

\(f(2)=4a(2-N)=4\)  →    \(a=\frac{1}{2-N}\)

Extremwerteigenschaft:

\(f(x)=\frac{1}{2-N}[x^2(x-N)]\)

\(f´(x)=\frac{1}{2-N}[2x(x-N)+x^2]\)

\(f´(2)=\frac{1}{2-N}[2*2(2-N)+2^2]=\frac{1}{2-N}[12-4N]=\frac{4}{2-N}[3-N]=0\)→\(N=3\)      \(a=-1\)

\(f(x)=-x^2(x-3)\)